《线性代数课件-2.6矩阵的初等变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件-2.6矩阵的初等变换（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上堂课主要内容： 主要概念：,其中 是A的行列式 中元素 的代数余子式,2、伴随矩阵：对n阶方阵A，有,伴随矩阵,逆矩阵的运算公式：,2、若A可逆，则,1、若A可逆，则,5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且,1、n阶方阵A与其伴随矩阵 的关系,3、若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、B 均可逆，且,主要性质：,26 矩阵的初等变换,一、初等变换 定义216 对矩阵施行的以下三种变换 （1）互换矩阵的某两行（列） （2）用一非零数乘与矩阵的某一行（列） （3）将矩阵的某一行（列）各元素的k倍 加到另一行（列）对应元素上。 均称为矩阵的初等变换。,初等行变换,初等列变换,定理23 任意一个
2、矩阵 ，总可以经过有限次初等变换，化为形如,mn,r行,r列,的矩阵 ， D称为矩阵A的最简形,二、初等矩阵 定义217 对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵的类型： （1）互换E的第i、j两行(列）所得到的矩阵,i行,j行,i列,j列,第一种初等矩阵,（2）用非零数k乘与E的第i行（列）所得到的矩阵,i行,k,（3）将E的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加 到第j列)所得到的矩阵,j行k,i列,k,i列k,第二种初等矩阵,第三种初等矩阵,三种初等矩阵：,性质：初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆仍为初等矩阵。,即有：,证明（3）,=E,，且其逆,初等变换将一个矩阵
3、变为另一个矩阵,定理22 1、 对mn矩阵A施行一次初等行变换相当 于在A的左边乘以相应的mm初等矩阵;,证明：下证对三种行变换结论成立,设,2、对mn矩阵A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的nn初等矩阵;,（1）互换A的第i行与第j行,m1,=B,i行,j行,（2）用一非零数k乘与A的第i行,k,=B,(3)将A的第j行各元素的k倍 加到第i行对应元素上。,=B,即,则,则,则,则,则,则,定理23 任意一个矩阵 ，总可以经过有限次初等变换，化为最简形，即,s次行变换 t次列变换,利用定理2.2讨论矩阵A与其最简形D的关系：,由于初等矩阵都是可逆矩阵，所以,即,E,在A的左边乘上S
4、个相应的初等矩阵P1、 P2、 P s，,设A共经过s次行变换、t次列变换后化成D,在A的右边乘上t个相应的初等矩阵Q1、 Q2、 Q t,矩阵A与其最简形D的关系：,or,推论1 n阶方阵A可逆的充要条件是A的最简形 为单位矩阵E.,证明：,由以上两式可知,A可逆,D可逆,定理24 n阶方阵A可逆的充要条件是A能表示成 一系列初等矩阵的乘积。即,A可经过初等变换化E,推论2 若n阶方阵A可逆，则可以经过一系列初 等行变换将A化为单位矩阵E.,证明：,由定理22知，,A可以经过一系列初等行变换化为E.,设A可逆，其逆为 ，,由定理24知,存在初等矩阵,使,于是,定理24 n阶方阵A可逆的充要条
5、件是A能表示成 一系列初等矩阵的乘积。即,三、用初等变换求逆矩阵,构造分块矩阵,求逆矩阵的方法：,使,则,若A可逆，其逆为 ，,则存在初等矩阵,对 作初等行变换，当左边子块A化为E时， 右边子块E就化为,构造分块矩阵 ，,【例3】求矩阵 的逆矩阵。,解：,所以,注意： 在对分块矩阵,说明：（1）在不知A是否可逆时，可直接 对 作初等行变换，若在运算过程 中，A对应的子块出现一行或一列的元素 全为零，则A不可逆。,例如：讨论矩阵 是否可逆，若可 逆， 求其逆 。,解：,所以A不可逆,（2）若A可逆，利用初等列变换也可求得 ， 只不过此时是对分块矩阵 作初等列变换，,列变换,因为，由,，做,21,
6、例如求矩阵 的逆矩阵。,故,（3）可利用初等行变换求矩阵方程AX=B的解,即 对矩阵方程AX=B,若A可逆，则,，于是,构造分块矩阵,则,对 作初等行变换，,当左边子块A化为E时,右边子块即为,若A可逆，构造分块矩阵,因为若A可逆，则 可逆,【例4】设矩阵,，,求X，使AX+B=X,解：,由AX+B=X,B=X-AX=(E-A)X,且,所以E-A可逆，由此得,思考题：已知XA=B ，且A可逆，则,如何求 ？,1、初等变换 定义216 对矩阵施行的以下三种变换 （1）互换矩阵的某两行（列） （2）用一非零数乘与矩阵的某一行（列） （3）将矩阵的某一行（列）各元素的k倍 加到另一行（列）对应元素上
7、。 均称为矩阵的初等变换。,初等行变换,初等列变换,本节主要内容：,概念：,2、初等矩阵 定义217 对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵,性质、定理：,性质：初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆仍为初等矩阵。,即有：,定理22 1、 对mn矩阵A施行一次初等行变换相当 于在A的左边乘以相应的mm初等矩阵;,2、对mn矩阵A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的nn初等矩阵;,定理23 任意一个矩阵 ，总可以经过有限次初等变换，化为最简形，即,s次行变换 t次列变换,推论1 n阶方阵A可逆的充要条件是A的最简形 为单位矩阵E.,定理24 n阶方阵A可逆的充要条件是A能表示成 一系列初等矩阵的乘积。即,推论2 若n阶方阵A可逆，则可以经过一系列初 等行变换将A化为单位矩阵E.,计算题：,1、求逆矩阵,构造分块矩阵 ，,方法：,行变换,方法：,构造分块矩阵,对AX=B,设A可逆,行变换,
