《计算机在材料科学与工程中的应用ch04 非线性方程的解法课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机在材料科学与工程中的应用ch04 非线性方程的解法课件（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章非线性方程的解法,主要内容,1、引言,2、二分法,3、迭代法,(1),问题的提出 (2),求解步骤,计算机处理非线性方程的基本方法,常用的计算方法,4、牛顿迭代法和弦截法,内容3的两个例子,引言,哪些情况下，非线性方程通常用计算机来求解？,不易用解析的方法求解，通常可用图解法获得近似解，在精确的场合则需要用数值方法,一般情况下，上述方程可写成f(x)=0的形式,求根步骤,1.确定根的初始近似值。（粗略判断有根范围） 2.根的精确化（几种方法：二分法、迭代法、牛顿迭代法、弦截法等等）,第一步骤粗略判断有根范围,(1) 判断f(x)在a，b连续，且f(a)*f(b)0，且f(x0)f(xk+
2、1)0 ，则判断根x* 在xk,xk+1内。,例： 方程 f(x)=x3-x-1=0 ，找出有根范围，要求范围大小为h=0.5,(b)从x=0出发，h=0.5，判断f(x)的符号,(c)则粗略判断根 x* 在 1,1.5 内,(d)再利用其他方法进行精确化,二分法,基本思想,a,平分含根的区间，判断根的位置在哪个区间 b,舍去无根的区间，再进行a的判断 c,重复a，b过程，直到达到事先要求的精度为止,计算过程,例： 方程 f(x)=x3-2x2-4x-7=0在3,4内的根，精确到10-4,float a,b,eps,x,f0,f; a=3;b=4;eps=0.0001; f0=f(a); wh
3、ile(1) x=(a+b)/2; f=f(x); if(f0*f0) b=x; else a=x; if(fabs(b-a)eps) printf(x=%f,a); exit(0); ,说明,1,二分法是比较常用的求解非线性方程的方法,2,优点1：原理简单，容易操作,3,优点2：不存在收敛性的问题,4,缺点：速度较慢,5,特殊情况,f(x)的单调性很重要,迭代法,基本思想 1,把一般方程f(x)=0化成等价形式x=g(x)，构造迭代式xk+1=g(xk)，k=0,1,2, 2,由近似初始值x0，得到一系列迭代值：x0,x1,x2,xk,。记为xk,xk迭代序列 g(x)迭代函数,如xk收敛于
4、x*，则x*=g(x*)，即f(x*)=0。可知x*是方程f(x)=0的解。,这种方法称为迭代法，又叫逐次逼近法。,例：求方程f(x)=x-10 x+2=0的一个根,解：因为f(0)0,f(x)函数连续，则0,1中必然有一个根。,将方程写成等价形式x=lg(x+2)，构造迭代式：xk+1=lg(xk+2)，取初始迭代值x0=1，进行迭代,则所求根为x*=0.3758,说明：这种方法有时无效。 例：本题如果选迭代式为xk+1=10 xk-2， 则：x0=1,x1=8,x2=108-2,溢出。xk不收敛，计算不出结果。,迭代法的收敛条件,计算步骤和流程图,例：求方程x=e-x在x=0.5附近的一个根，计算精度10-3。,解：,牛顿迭代法和弦截法,牛顿迭代法 基本思想,例：求方程x=e-x在x=0.5附近的一个根，计算精度10-3。 （参考前面迭代法的例子）,迭代过程,只需3次迭代，比普通迭代法（10次）快！,有关说明,弦截法 基本思想,与牛顿法的区别： 牛顿法只用到前一步迭代的数值单点迭代法。 弦截法用到前两步迭代的结果多点迭代法,本章小结,1/4、引言,2/4、二分法,3/4、迭代法,4/4、牛顿迭代法和弦截法,二分法思路简单，编程稍难，计算速度慢； 迭代法种类多，编程简单，速度较快，但存在收敛性问题。,
