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1、1,3.2.5关于点（直线）对称的直线方程,2,例 已知直线l :2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程.,解法一：当x=0时，y=-3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).,当x=-2时,y=1.点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).,因此,直线l 1的方程为：,化简得: 2x + y -11=0,题型一、两直线关于点对称,那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.,方法总结： 第一步，在已知直线上找两点（整数点），一般令x=0和y=0， 第二步，求出这两点关于已知点的对称点， 第三步，利用两点式写出对称直线的方程
2、.,3,解法二：直线l 1 与l关于点A(1,2)对称， l l l 与l 1的斜率相同， kl1=-2,直线l1的点斜式方程为：y-7=-2(x-2),化简得： 2x + y -11=0,例 已知直线l :2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程.,题型一、两直线关于点对称,当x=0时，y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7). 点(2,7)在直线l1上.,方法总结： 若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行； 解题步骤是： 第一步,由两线对称求出所求直线的斜率； 第二步,在已知直线上找一点(一般令x=0或y=0)，求出这点关于已知点的对称点
3、; 第三步,利用点斜式写出对称直线的方程.,4,解法三：设点P(x,y)为直线l 1 上的任意一点， 则其关于点A(1,2)对称的对称点Q为(2-x,4-y)， 直线l 1 与直线l关于点A(1,2)对称， 点Q(2-x,4-y)在直线l上， 2(2-x)+(4-y)+3=0 ，,即： 2x + y -11=0,例 已知直线l :2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程.,题型一、两直线关于点对称,求谁设谁,方法总结： “求谁设谁”是解决数学问题的一种方法； 解题步骤是： 第一步,设出所求直线上任意一点P的坐标(x,y)； 第二步, 求出P点关于已知点的对称点Q的坐标;
4、第三步,将点Q的坐标代入已知直线方程，整理得出所求直线的方程.,此方法为通法，求对称的直（曲）线方程都用此方法。,5,练习,1.直线y=3x+3关于点M（3，2）对称的直线l的方程是 。,解：设所求直线上的任意点坐标(x，y)关于点M(3，2)对称点（6-x、4-y）， 对称点在已知直线上， 将y=3x+3中的x、y分别代以（6-x）、（4-y），得4-y=3（6-x）+3， 即3x-y-17=0 所求直线方程为3x-y-17=0 ,3x-y-17=0,2.直线y=3x-4关于点P（2，-1）对称的直线l的方程是 。,3x-y-10=0,3.与直线2x+y-1=0关于点（1，0）对称的直线的方
5、程是 。,2x+y-3=0,4.直线y=2x+1关于坐标原点对称的直线方程是 。,y=2x-1,6,题型二、两点关于直线对称问题,例 若点A（2，0）关于直线y=2x+1对称的对称点为点B，则点B的坐标 .,（-2，2）,方法总结：求已知点关于直线的对称点的步骤： 第一步，设出所求点的坐标(m，n)求谁设谁; 第二步，利用以下条件列出方程组： 两点的连线的斜率与已知直线垂直斜率之积为-1; 两点连线段的中点在已知直线上. 第三步，解方程组即可得到m、n的值，从而得到所求点的坐标。,7,1.点A（0，1）关于直线2x+y=0的对称点坐标是 .,练习,2.点（3，9）关于直线x+3y-10=0对称
6、的点的坐标为 .,（-1，-3）,8,例 求点（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标.,题型二、两点关于直线对称问题,解法一：,9,例 求点（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标.,题型二、两点关于直线对称问题,解法二：由x+y+1=0得到x=-y-1，将y=5代入，可得x=-6； 再由x+y+1=0得到y=-x-1，将x=2代入，可得y=-3； 点（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标（-6，-3）.,方法总结：求已知点关于某直线的对称点，若直线的斜率为1或-1，则可简化运算，利用以上方法解答即可。 注意：此方法对于斜率不是1的情况不适用。,10,1.点（1，0）关于
7、直线x+y+1=0的对称点是 .,练习,2.点M（3，-1）关于直线y=x的对称点的坐标是 .,（-1，-2）,（-1，3）,3.点（-1，1）关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是 .,（2，-2）,4.点（2，2）关于直线x-y+3=0的对称点坐标是 ,（-1，5）,11,1.点（2，5）关于直线x=1的对称点的坐标为 .,（0，5）,练习,2.点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是 .,（1，0）,12,例 求直线x+2y-3=0关于直线x=1对称的直线的方程.,题型三、两线关于直线对称问题,解：,方法：若两直线关于直线x=a对称，则这两直线的斜率互为相反数.,13,1.直线x-4
8、y+2=0关于直线x=-2对称的直线方程是 .,练习,2. (2012贵阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=3对称的直线方程为 解：直线x-2y+1=0关于直线x=3对称， 所以对称直线的斜率为-2， 再由直线x-2y+1=0与直线x=3的交点为（3，2）， 对称直线的方程为 y-2=-2（x-3）， 即 2x+y-8=0， 故答案为 2x-y-8=0.,x+4y+2=0,x+2y-8=0,14,例直线3x-y+3=0关于x-y-2=0对称的直线方程为 ,题型三、两线关于直线对称问题,x-2y-9=0,方法总结：求已知直线关于某直线的对称对称直线，若直线的斜率为1或-1，则可简化运算，利用
9、以上方法解答即可。 注意：此方法对于斜率不是1的情况不适用。 求已知直线关于某直线的对称对称直线，斜率不是1的情况，一般不予考查.,15,1.直线x+2y-3=0关于直线x+y-1=0的对称直线方程为 .,练习,2x+y=0,2.直线3x+4y=2关于直线y=x的对称直线的方程是 .,4x+3y=2,3.求直线l1：y=2x+3关于直线l：y=x+1对称的直线l2的方程,x-2y=0,4. (2012汕头一模)已知直线x+3y-1=0关于直线y=x对称的直线方程是 ,3x+y-1=0,5.直线2x+3y-6=0关于直线x+y+2=0对称的直线方程为 .,3x+2y+16=0,16,例1 已知两
10、点A（8，6），B（-4，0），在直线l：3x-y+2=0上找一点P，使|PA|-|PB|最大，则点P的坐标为 ,题型四、两线段之和最小（之差最大）问题,方法总结：使|PA|-|PB|最大 若A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可； 若A、B在l的异侧，则将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P,P,判断两点在直线的同侧还是异侧，只需把两点代入直线方程， 若之积为正，同侧；若之积为负，异侧.,17,例2 已知直线l：x-2y+8=0和两点A（2，0），B（-2，-4），若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小，则点P的坐标为 ,题型四、两线段之和最小（之差最大）问题,方法总结：使
11、|PA|+|PB|最大 若A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可； 若A、B在l的同侧，则将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P,（-2，3）,解：(2-0+8)(-2+8+8)0, 点A、B在直线l的同侧，,判断两点在直线的同侧还是异侧，只需把两点代入直线方程， 若之积为正，同侧；若之积为负，异侧.,18,练习,1. 已知点A（-3，4）和B（-2，1），试在y轴上求一点P，使|PA|+|PB|的值最小，并求出点P的坐标,19,练习,2.已知点A（-3，5），B（2，15），在直线l：3x-4y+4=0上求一点P，使|PA|+|PB|最小,20,练习,3. （1）已知两点A（3，
12、-3），B（5，1），直线l：y=x，在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小 （2）已知两点A（-3，3），B（5，1），直线l：y=x，在直线l上求一点P，使|PA|-|PB|最大,21,练习,4.已知平面上两点A（3，-3）及B（2，15），在直线l：3x-4y+4=0上有一点P，可使|PB|-|PA|最大，则点P的坐标为 ,（-8，-5）,5.已知直线l：y=x-1，点A（1，2），B（3，1），若在直线l上存在一点P，使得|PA|-|PB|最大，则点P坐标为 ,（3，2）,6.已知点A（3，1），在直线x-y=0和y=0上分别有点M和N使AMN的周长最短，求点M、N的坐标,22,
13、例 ABC中，已知点A（3，-1）和点B（10，5），B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0，求BC边所在直线的方程,题型五、与角平分线有关的问题,方法：角的两边关于角的平分线对称.,23,练习,1.已知在ABC中，顶点A的坐标为（1，4），ABC的平分线所在直线方程为x-2y=0，ACB的平分线所在直线方程为x+y-1=0，求BC边所在的直线方程,24,练习,2.在ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，A的平分线所在直线的方程为y=0若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标,25,3.已知ABC的顶点A(1,5),AB边上的中线所在直线方程为20 x+9y-17=0,B的平分线所在直线方程为y=1，求BC边所在直线方程,练习,26,4.已知ABC,点A（1，5）,B的平分线所在方程为y=x+1，AB边上中线方程为 ，则边BC所在直线方程为 ,4x-7y-2=0,练习,27,特别注意：本节课所学习的方法，是通性通法，对于今后学习圆、圆锥曲线照样适用！,
