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1、12B-SX-0000013 - 1 - - 2 - 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 年 _ _ _ _ _ _ _ 班 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 学 号 ： _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - - - - - 密 封 线 - - - - - - - - - 密 封 线 - - - - - - - - - 绝密启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学全国 I 卷 （全卷共 10 页） (适用地区：福建、广东、安
2、徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北) 注意事项： 1 本试卷分第 I 卷(选择题 )和第 II 卷(非选择题 )两部分。 2 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 4 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 第 I 卷 一、 选择题： 本题共 12 小题， 每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 2 430Ax xx，230 xx,则AB （A）
3、 3 3, 2 （B） 3 3, 2 （C） 3 1, 2 （D） 3 ,3 2 2. 设yixi1)1(，其中yx,是实数，则yix （A）1（B）2（C）3（D）2 3. 已知等差数列 n a前 9 项的和为27， 10 8a，则 100 a （A）100 （B）99 （ C） 98 （D）97 4. 某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，小明在7:50 至 8:30 之间到达发车站 乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概 率是 （ A） 1 3 （B）1 2 （ C） 2 3 （D） 3 4 5. 已知方程 22 22 1 3 xy mnmn
4、表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4, 则 n 的取值范围是 （A）1,3（ B） 1,3（C）0,3（ D）0,3 6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每 个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28 3 ,则它的表面积是 （A）17（B）18 （C）20（ D）28 7. 函数 2 2 x yxe在 2,2的图像大致为 8. 若101abc，,则 （A） cc ab（B） cc abba 12B-SX-0000013 - 3 - - 4 - （C）loglog ba acbc（D）loglog ab cc 9. 执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，,则输出 x
5、, y 的值满足 （A）2yx （B）3yx （C）4yx （D）5yx 10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于 A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点 . 已知 |AB|=4 2,|DE|=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11. 平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点 A, /平面 CB1D1, I平面 ABCD=m,I平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 12. 已知函数( )sin()(0), 24 f xx+x，为( )f x的零点 , 4 x
6、为( )yf x图像的对称轴，且( )f x在 5 18 36 ，单调，则的最大值为 （A） 11 （B）9 （C）7 （D）5 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第1321 题为必考题，每个试题都必须作 答。第 2224 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3 小题 ,每小题 5 分。 13. 设向量)1 ,(ma，)2 ,1 (b，且 222 baba，则m 14. 5 )2(xx的展开式中， 3 x的系数是 （用数字填写答案） 15. 设等比数列 n a 满足 10 31 aa ，5 42 aa，则 n aaa 21 的最大值 为 16. 某高科技企业生产产品A
7、 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件A 需要 甲材料 1.5kg,乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件B 需要甲材料0.5kg,乙材料 0.3kg，用 3 个工时 .生产一件 A 产品的利润为2100 元，生产一件B 产品的利 润为 900 元.该企业现有甲材料150kg， 乙材料 90kg，则在不超过600 工时的条 件下，生产产品A、产品 B 的利润之和的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （一）必考题：共60 分。 17. （本小题满分12 分） ABC的内角 CBA, 的对边分别为 cba, ，已知 cAbBaC)coscos(cos2 . 是
8、 否 nyy n xx, 2 1 36 22 yx 输入nyx, 输出yx, 开始 结束 1nn 12B-SX-0000013 - 5 - - 6 - F E A B C D （）求 C ； （）若7c，ABC的面积为 2 33 .求ABC的周长 . 18. （本小题满分12 分） 如图，在以FEDCBA,为顶点的五面体中，面ABEF为正方形， FDAF2，90AFD， 且二面角EAFD与二面角FBEC都 是 60 . （）证明：平面ABEF平面EFDC； （）求二面角ABCE的余弦值 . 19. （本小题满分12 分） 某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，
9、在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200 元.在机器使用期间，如 果备件不足再购买，则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零 件，为此搜集并整理了100 台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发 生的频率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机 器的同时购买的易损零件数. （）求X的分布列； （）若要求 5.0）（nXP ，确定 n的最小值； （）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在19n与20n之中选 其一，应选用哪个？ 12B-SX-00000
10、13 - 7 - - 8 - 20. （本小题满分12 分） 设圆0152 22 xyx的圆心为A，直线l过点)0, 1 (B且与x轴不重合， l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （）证明EBEA为定值，并写出点 E的轨迹方程； （）设点E的轨迹为曲线 1 C，直线l交 1 C于NM ,两点，过B且与l垂直的 直线与圆 A交于QP, 两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 21. （本小题满分12 分） 已知函数 2 )1()2()(xaexxf x 有两个零点 . （）求 a的取值范围； （）设 21, x x是)(xf的两个零点，证明：2 21 xx. 请考生在第22、
11、 23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲 如图，OAB是等腰三角形，120AOB.以O为圆心，OA 2 1 为半径作 圆 . （）证明：直线AB与O相切； （）点DC,在O上，且DCBA,四点共圆，证明：CDAB. C B A O D 12B-SX-0000013 - 9 - - 10 - 23. （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 ,sin1 ,cos tay tax (t为参数， 0a). 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2
12、 C： cos4. （）说明 1 C是哪一种曲线，并将 1 C的方程化为极坐标方程； （） 直线 3 C的极坐标方程为 0，其中0满足 2tan 0 ，若曲线 1 C与 2 C的公共点都在 3 C上，求a. 24. （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 321)(xxxf . （）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy的图像； （）求不等式1)(xf的解集 . x y 1 1 o 12B-SX-0000013 - 11 - - 12 - 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学全国 I 卷 试题答案 一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
13、2 答案D B C B A A D C C B A B 二、填空题 13-2 14.10 15. 64 16. 216000 三、解答题 17.解：2coscoscosC aBbAc 由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC 2cossinsinCABC ABC，0ABC、， sin sin0ABC 2cos1C， 1 cos 2 C 0C， 3 C 由余弦定理得： 222 2coscababC 22 1 72 2 abab 2 37abab 133 3 sin 242 SabCab 6ab 2 187ab 5ab ABC周长为57abc 18解： (1) ABEF为正
14、方形AFEF 90AFD AF DF =DFEFF AF面EFDC AF面ABEF 平面 ABEF 平面EFDC 由知 60DFECEF AB EF AB平面EFDC EF平面EFDC AB平面ABCD AB平面ABCD 面 ABCD面EFDCCD ABCD CDEF 四边形EFDC为等腰梯形 以E为原点，如图建立坐标系，设FDa 000020EBa， ， 3 0220 22 a CaAaa， ， 12B-SX-0000013 - 13 - - 14 - 020EBa， 3 2 22 a BCaa，200ABa ， ， 设面BEC法向量为 mxyz， ，. 0 0 m EB m BC ，即 1
15、 111 20 3 20 22 a y a xaya z 111301xyz， 301m， ， 设面ABC法向量为 222 nxyz， =0 0 n BC n AB .即 222 2 3 20 22 20 a xayaz ax 222 034xyz， 034n， 设二面角EBCA的大小为. 42 19 cos 19 31316 m n mn 二面角EBCA的余弦值为 2 19 19 19. 解：每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11 记事件 i A为第一台机器3 年内换掉7i个零件1,2,3,4i 记事件 i B为第二台机器3 年内换掉7i个零件1,2,3,4i 由题知 134134 0
16、.2P AP AP AP BP BP B， 220.4P AP B 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X， 则X的可能的取值为 16，17，18，19，20，21，22 11 160.20.20.04P XP A P B 1221 170.20.40.40.20.16P XP AP BP AP B 132231 180.20.20.20.20.40.40.24P XP AP BP AP BP AP B 14233241 190.20.20.20.20.4 0.2P XP AP BP AP BP AP BP AP B 0.2 0.40.24 243342 200.40.20.20.40.20.20.2P XP AP BP A P BP AP B 3443 210.20.20.20.20.08P xP AP BP AP B 44220.20.20.04P x
