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1、第三章,不等式,学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图象法解一元二次不等式的方法. 3.培养数形结合、分类讨论思想方法.,3.2一元二次不等式解法,(重点),(难点),3,预习导引 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地,含有一个未知数,且未知数的 的整式不等式,叫做一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般表达形式为_或 (a0),其中a,b,c均为常数.,ax2bxc0,最高次数是2,ax2bxc0(a0),4,0,有两相异实根 x1, x2 (x1x2),x|xx2,x|x1 x x2 ,=0,0,有两相等实根 x1=x2=,x|x ,R,没有实根
2、,2.一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系:,5,3.一元二次不等式的解集 设方程ax2bxc0(a0)有两个不等的实数根x1、x2,且x10(a0) 的解集为_ ;ax2bxc0)的解集为 .,x|x1xx2,x|xx1或,xx2,思考,知识点一一元二次不等式的概念,不等式x21的解集为x|x1,该集合中每一个元素都是不等式的解,而不等式的每一个解均属于解集.,答案,我们知道,方程x21的解集是1,1,解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x21的解集吗?,问题导学,梳理,(1)形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的不等式(其中a0),叫作一元二次不等式.
3、 (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解. (3)一元二次不等式所有解组成的集,叫作一元二次不等式的解集.,知识点二“三个二次”的关系,思考,分析二次函数yx21与一元二次方程x210和一元二次不等式x210之间的关系.,答案,9,0,有两相异实根 x1, x2 (x1x2),x|xx2,x|x1 x x2 ,=0,0,有两相等实根 x1=x2=,x|x ,R,没有实根,梳理 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系:,10,梳理口诀:当 时 若ax2+bx+c=0的根是 x1, x2 (x10的解集是x|xx2; 口诀:大于取两边,大于大根或小于小根 2. a
4、x2+bx+c0的解集是x|x1xx2 。 口诀:小于取中间,大于小根小于大根,知识点三一元二次不等式的解法,思考,根据上表,尝试解不等式x223x.,先化为x23x20. 方程x23x20的根x11,x22, 原不等式的解集为x|x2.,答案,解一元二次方程的步骤 解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式,一般可分为三步: (1)确定对应方程ax2bxc0的解;(求根) (2)画出对应函数yax2bxc的图象简图;(作图) (3)由图象得出不等式的解集.(写解集),梳理,类型一一元二次不等式的解法,命题角度1二次项系数大于0 例1求不等式4x24x10的解集.,解答,
5、因为(4)24410, 所以方程4x24x10的解是x1x2 , 所以原不等式的解集为.,题型探究,反思与感悟,当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式,在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像.,跟踪训练1求不等式2x23x20的解集.,解答,2x23x20的两解为x1 ,x22, 且a20, 不等式2x23x20的解集是 x|x 或x2.,命题角度2二次项系数小于0 例2解不等式x22x30.,解答,不等式可化为x22x30. 因为0,方程x22x30无实数解, 而yx22x3的图像开口向上, 所以原不等式的解集是.,反
6、思与感悟,将x22x30转化为x22x30的过程注意符号的变化,这是解本题关键之处.,跟踪训练2求不等式3x26x2的解集.,解答,不等式可化为3x26x20,,不等式3x26x2的解集是,命题角度3含参数的二次不等式 例3解关于x的不等式ax2(a1)x10.,解答,反思与感悟,解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.,跟踪训练3解关于x的不等式(xa)(xa2)0.,解答,当a0或a1时,有aa2,此时,不等式的解集为x|axa2; 当0a1时,有a2a,此时,不等式的解集为x|a2xa; 当a0或a1时,
7、原不等式无解. 综上,当a0或a1时,原不等式的解集为x|axa2; 当0a1时,原不等式的解集为x|a2xa; 当a0或a1时,解集为.,类型二“三个二次”间对应关系的应用,例4已知关于x的不等式x2axb0的解集.,解答,由根与系数的关系,可得,不等式bx2ax10,即2x23x10.,题型探究,反思与感悟,给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.,跟踪训练4已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2,求a,b的值.,解答,方法一由题设条件知a0,且1,2是方程ax2bx20的两实根.,方法二把x1,2分别代入方程a
8、x2bx20中,,课堂检测,1.不等式2x2x10的解集是,答案,解析,1,2,3,4,2x2x1(2x1)(x1), 由2x2x10,得(2x1)(x1)0,,2x2x1(2x1)(x1), 由2x2x10,得(2x1)(x1)0,,1,2,3,4,2.不等式6x2x20的解集是,答案,解析,1,2,3,4,6x2x20,6x2x20, (2x1)(3x2)0,x 或x .,3.若不等式ax28ax210的解集是x|7x1,那么a的值是 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,1,2,3,4,由题意可知7和1为方程ax28ax210的两个根. 7(1) ,故a3.,4.若不等式(a2)x
9、22(a2)x40的解集为R,求实数a的取值范围.,当a20,即a2时,原不等式为40, 所以a2时解集为R.,1,2,3,4,解答,解得2a2.,综上所述,a的取值范围为(2,2.,课堂小结,1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤 化不等式为标准形式:ax2bxc0(a0)或ax2bxc0); 求方程ax2bxc0(a0)的根,并画出对应函数yax2bxc图象的简图; 由图象得出不等式的解集.,(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m0,则可得xn或xm; 若(xm)(xn)0,则可得mxn. 有口诀如下:大于取两边,小于取中间.,2.含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a0,a0),一根(0),无根(x2,x1x2,x1x2.,36,作业布置,第77页5,6,