《数学考试中答案检验的常用方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学考试中答案检验的常用方法（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学考试中答案检验的常用方法 山东省新泰市第一中学 李 艳 数学考试中 , 我们常常会遇到考试结论的检验问 题 , 检验是解答数学题准确性的重要环节 . 主要包括 两个方面 : 一是测出不合题意的答案 ;二是检验解题 过程中有无差错或遗漏 . 因此 , 熟练掌握检验方法 , 养 成良好的检验习惯 , 是考前训练的重要任务 , 也是拿 高分的必要一环 . 本文就考试中常用的检验方法做一 番小结 , 以飨读者 . 方法一概念检验法数学中的基本概念 、 法 则 、公式是学生 们复习时容易忽视而造成错解的地 方 , 所以 , 概念检验法是一种针对性极强的方法 . 例1求曲线 y二扩 的过点A (1 ,
2、 l )的切线方程 . 【错解l显然点A在曲线 y一护 上 , 厂(x )- 3尹 , 厂(1 ) 一3 . , . 过点A(1 , 1 )的切线方程为y一1=3 (x一1 ) , 即3x一 y一2 “0 . 【 正解】设切点坐标为P(为 , 加) , 则在点 尸处 的切线方程为y一y 0 一3端(x一x 0 )Q过点A(1 , 1) , 且 y 0“端. .l一端3端( l一x 0) , 整理得2端一3端+ 1- 八。n ,、, 。, ,、 。 。, 1 0 , 即(两一1 )(2端一x 0 一 卜 O: . 两=1 , x 0二 一告 , 当一 一 一 一 、一“ 一” 一/一一 一” 2
3、 闷 x。一 1 时 , 切点为(1 , 1) , 此时切线方程为 3x一y一2 二 。 , 当x 0 一粤 时 , 切点为(一令 , 一粤 ) , 此时切线方 一 一 一v Z ”J 人 、钱z子 2 8 户 J 火 /J 程为3x一4y十1“0 . I解题反思1本题求的是经过点A的切线 , 而 不是点A处的切线 , 因而不排除有其他切线经过A ; 这一点在课本中有明确的区分 . 思考课本中对导数的 切线的提法规定人手 , 即可得出答案 . 方法二对称检验法对称的条件一般能导致 结论的对称 , 利用对称原 理可以对答案进行快速 检验 . 例 2 如图 , 在以点O 为圆心 , ABI二4为直
4、径的 半圆八刃归中 , 口D上月刀 , 尸 AO B 是半圆弧上一点 , 匕尸C旧二3扩 , 曲线 C是满足人艺 今 一MBll为定值的动点M的轨迹 , 且曲线C过点P . ( 1 )建立适当的平面直角坐标系 , 求曲线C的 方程 ; ( 2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的 两点E 、F . 若OEF的面积不小于 2涯 , 求直线Z斜率的取 值范围 . 【 分析】 本小题主要考查直线 、 圆和双曲线等平 面解析几何的基础知识 , 考查轨迹方程的求法 、 不等 式的解法以及综合解题能力 . = 了1+ kZ = 了1+k Z 2万了3一k, 11一k Z I 而原点O到直线l的距离d “
5、2 丫l+ kZ . . 昆二 一 粤 J E F!- 自 12 2 丫1+ 走 2 丫l+ k, 2福侧丁硕丁_ 2涯侧答万乎 Jl一k Z JJI一k Z , I答案l ( l)曲线C的方程为丝 _ Z 若OE F面积不小于2涯 , 即S必) 2涯 , 则有 噪蟠 亘、 一。一 瑜 解得一二 ( 2 )解法1 : 依题意 , 可设直线 l的方程为ykx 十2 , 代人双曲线C的方程并整理得( 1一对)扩一4 k x 一6一0 . 丫直线l与双曲线C相交于不同的两点E 、F, l一矿井0 二(一4 k)2+4X6(1一kZ)0 : . 乏任(一万 , 一 1)U(一 1 , l)U(l ,
6、万) . 设E(x , 刃 , F(x z , 脚) , 则由 式得 x ; 十x z 4k 1一kZ , x 1及-一不二泛 , 于是 IE FI k苟厄 . 综合 、 知 , 直线 l的斜率的取值范 围为一 涯 , 一1)U(一l , 1)U(l , 存 , 注 : 由于条件的对称性 , 可知答案也应当是对称 的 , 否则就应该马上验证是不是计算出现了问题 . 【解题反思】 对称检验法也可应用于解题的过 程中 , 如在证明不等式时需要因式分解(x y十1)(x+ 1 )(y+l )+x y一(x y一y+ 1 ) (x y+x+ 1 )结论显然错 误 . 左端关于 x 、y 对称 , 所以
7、右端也应关于 x 、y 对称 , 正确答案应为 : (x y十l )( x+1) (y+ l )+x y一(x y十y +1) (. x s+ x+1) . 方法三特殊检验法问题的特殊情况往往比 一般情况更易解决 , 因此通过特殊值 、 特例或极端状 态来检验答案是非常快捷的方法 , 因为矛盾的普遍性 寓于特殊性之中 . 一道复杂的或抽象的同题 , 检查对它解答是否正 确往往比较困难 , 这时 , 我们可在不改变原题性质的 前提题下 , 考察其简单的具体的情形 , 从而易于辨析 正误 . 例3 已知集合A =a , , a +1 , 一s , B = a 一3 , 2 a一1 , 矿+1 ,
8、若A门B 一3 , 求实数 a 的值 . I错解1由题意得 a 一3- 一3或2 a一1-一3得 a =0 , 一1 I检验l把 a二O 代人原题得A门B一1 , 一3 与 原题A自B 一一3 , 不相符 , 所以舍去 . 【解魔反思】 特殊检验就是对于某些题目的结 果 , 可以抽取特殊的情况进行检验 . 例如 , 对于三角形 的结论 , 可以用正三角形或直角三角形来检验;对于 涉及到直线与圆或直线与圆锥曲线的一般性结论或 问题 , 可以用某些特殊位置的直线 、 圆等来检验 ;对于 函数的结论 , 可以取符合题意的特殊函数来研究;对 于结论为某一取值范围的问题 , 可取范围内某一特殊 值来检验
9、 , 等等 . 方法四定t检验法某些数学问题在变化 、 变 形过程中 , 把握其中保持不变的量 , 如图形的平移 、旋 转 、 翻折时 , 图形的形状 、大小不变, 基本量也不变 . 利 用这种变化过程中的不变量 , 可以直接验证某些答案 的正确性 . 例4 5本不同的书全部分给4个学生 , 每个学 生至少一本 , 不同的分法种数为 () A . 480种 且240种 C 120种 n 96种 I错解l先从 5 本书中取4本分给 4 个人 , 有 鹉种方法 , 剩下的 1本书可以给任意一个人有4 种 分法 , 共有 4XA聋一48 0 种不同的分法 , 选A . I剖析1设 5本书为 a 、b
10、、。、 d 、。, 4 个人为甲 、 乙 、 丙 、丁. 按照上述分法可能的结果如下表1和表2 : 表 1 表2 甲甲甲 乙乙 丙丙丁丁 a a a a a b b b C C C d d d 亡亡亡亡亡亡 甲甲甲 乙乙 丙丙丁丁 e e e e e b b b C C C d d d a a a a a a a a a a a 表 1是甲首先分得 a 、 乙分得b 、 丙分得 。、丁分得 d , 最后一本书 。给甲的情况;表2 是甲首先分得 。、 乙 分得 b 、 丙分得 。、丁分得d , 最后一本书 a 给甲的情 况 , 这两种情况是完全相同的 , 而在错解中计算成了 不同的情况 . 正好
11、重复了一次 . 【检验】 在不改变题目性质的情况下 , 改编题 目 : 将题目变成 “把 3本不同的书分给2个人 , 每人至 少一本 , 求不同的分法种数 . ”按照上 面的思路N A蓦 4 1 2 , 采用列举出一共只有6种 , 解答有错误 . 正确的解答为24 0 , 选且 例s 已知A(2 , z) , B(3 , 5) , 把向量庙按向量 。一( 3 , 2 )平移后得到向量而 , 则下列向量中能与苗 垂直的是 () A . (一3 , 2) C .(一4 , 1) D .以上均不是 错解1 庙 一(1 , 4) , 平移向量 。一 (3 , 2) , 则苗 ( 4 , 6 ) , 考
12、虑到垂直 , 验证选B ; 【剖析】我们所研究的是自由向量 , 无论怎样平 移 , 向量庙一( l , 4 )的方 向和大小不变 , 故苗一( 1 , 4 ) , 验证选C . 方法五等价检验法等价关系不仅广泛用于 解题时的等价转换 , 而且在检验答案时也可收到事半 功倍的效果 . 、 , 、 ,、 , , 1 , , 一 . 例6 已知f(x)“k护一护+告kx一1 6在R上 一一 J ”一-一 一 3 一 一卜 一 单调递增 , 则k的取值范围是 A . k1 【错解】 R k)1 C . ikl 1 D . ik.) 1 、 ,、。 , , 。 . 1 , 仆 _厂 气x 少一J 花了一
13、乙x 十 一万 岛1状足 巴葱 O 对一 切 任R , 厂( X)。 3k0 从而抓石) 6 ; 又 计必2 丫石(当且仅当x一y时取等号) 从而 x +y)1 2 所以 x + y 的最小值为1 2 【 检验】 二4一4 3k 了 | 1 21 w e| 立需联只 们 1 , . .k . 份k0 : . k)1 , 应选R 一4一4 3k 1 , , 。 二不 丁陀气 , U J 【解题反思1我们知道当 x 任R , 厂(x ) 。是 f(x )在 R 上单调递增的充分不必要条件 . 该题中 , f(x)在R上单调递增的充要条件是 , 对一切 x 任R , / (x ) 0 . 值得提醒的
14、是 , 并不是对所有函数f(x ) , f(x)在R上单调递增 的充要条件都是 , 对一切 x e R , 厂(x ) ) 0;(/ ( x)一。所对应的情形应特别加以 考虑 . ) 方法六整体检验法整体把握不仅能培养我 们全局观念 , 养成良好的思维习惯 , 而且在检验答案 时 , 通过彼此的遥相呼应 、 和谐统一也可收到出奇制 胜的效果 . 一 、 _ 。 1 , 9 , . 。 例7 已知 x , yO且告+ 二 一1求x+y 的最 Xy 小值 . 一48 O , , , 11 。 一 1叹叨火一二犷旦又二子瑞阴 2耐一2成立 , 所以( 二 )成立 , 得m 的取值范围为(一1 , 一
15、粤 )u要 , 1) 一 1“ 了, 2 / 以2 / 【剖析】首先我们来回忆平面向量基本定理 : 对 平面内两个不共线的向量 a , b , 那么对于此平面内任 意的向量 。则存在唯一的一对实数久,拌, 使得 。一沁+ 户成立 . 由题意知 : 又井。 , 那么 , ( l ) 若直线l不经过原点。 , 则向量成 , 葩不共 线 , 从而存在实数k , l , 使得薛一k成+ l苗 , 由条件 可得 :丽 十丽一蘸茹一 告 成+ 音 茄 , 将式 子变形为 : 筋 一* 苑得 , 苗一成二 双葩一苗) , ( 1 + A ) 苗一丽十几鼠即 : 茄一南荻十击茄 (说 当m 一。时 , 点P为
16、原点O , 由 得又为任意值 , 再结合条件丽+*苗一4苗得* 一 1此时m一。符 合题意 ; 当阴共0时 ,又二3, 以下同原解答 . : +几。 , 贝叨 一 k= 牛 = 兴 任1 州卜人 立- 4 - 立 - 1+又 得 : 人一3 , 进而得出 m 的 取值 范 围 为 1二 11 , 、 一 上, 一万) U 、百 , 土/ ( 2 ) 当直线l经过原点。时 , 则向量丽 , 旅共 线 , 此时平面向量基本定理就失效了 . 就此题来看 : 此 时茄一。 , 结合条件成十*葩一4苗一。得 : *一1进 而得出m的取值范围为m “o ; 靴 :m 的取值范围为(一1 , 一令)u (。u (鲁 , 1) , 、一一 ” , “ / J 一 2 ,以 一, 留、2 一/ 下面再给出一个通法 : 由筋= *苑冷(o一。 , 川 _ _ _ ,_ 仲二确 - 、 , ,一m ) i :万 _ : 、 _ _ . 、 LZ甩二F形叨一加丁诫父 由从+几OB 二4 )
