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1、1,第三章,中值定理及其应用（下）,2,解,3,例7,分析1:,4,分析2:,例7,5,例8,分析,从结论想,证明1:,由罗而定理，,6,由罗而定理，,例8,7,证明2:,则由已知条件得,例8,8,例9. 证明不等式,2.证明不等式,证,由上式得,又,即,9,例10. 设函数,在,上二阶可导,且,证明,由泰勒公式得,两式相减得,证,10,3. 证明有关中值问题的结论,题型一.,例11. 设,分析：,11,12,题型二.,13,例12. 设,分析：用罗尔定理时找辅助函数的方法,证,14,例13. 设,证,15,例14. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,上连续, 在,分析: 问题转化为证：
2、,证明 设辅助函数,显然,故至少,使,即有,存在一点,16,分析:,证明,例15,10年考研题,17,总之， 有关中值问题的解题方法:,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定理 .,18,存在 (或为 ),定理 1.,(洛必达法则),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理
3、1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,二、洛比达法则及其应用,19,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,20,例1,解,例2,解,21,注意：,1)条件充分但不必要.,洛必达法则的使用条件.,例如,极限不存在也不是无穷大,2)对有些极限失效,22,如：,事实上：,如：,23,3)用洛必达法则之前应先,(1)检查极限的类型是否为,(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等.,注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其,它求极限方法结合使用，效果更好. 常用
4、的有等价无穷,小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.,24,三、函数单调性的判别法,注意：判别法的条件是充分条件而非必要条件.,问题：,错！一个点不存在单调性,25,四、函数的极值,1.极值的定义：,如果对适合不等式,如果对适合不等式,极大值、极小值通称为极值.,称为极大点；,极大点、极小点通称为极值点.,极值定义：,极值点定义：,将点,则称,义，,26,注：,极值与最值的区别：,是对整个区间而言，,绝对的、,极值：,最值：,是对某个点的邻域而言、,相对的、可以不是唯一的.,极大值不一定都大于极小值.,如何求极值？,观察图形知：,可导函数极值点的导数是零.,是整体的、,唯一的.,是局部
5、的、,27,2.取得极值的条件：,且在点,(费马定理),那么,处取得极值，,注意1:,但,函数的驻点却不一定是极值点.,可导函数的极值点,驻点,即,如：,是驻点，,也可能是极值点.,如：,连续不可导，,却是极小值点.,28,如：,也不是极值点.,3:,极值点的可疑点：,驻点，不可导点.,29,3.取得极值的充分条件：,可导.,到大经过点,时，,若,(1),在,的两侧，,由正变负，,由负变正，,不变号，,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,为,(1)第一充分条件：,30,(2)第二充分条件：,二阶导数，,那么,且,注意使用的条件：,在 x0处可导.,对不可导点不能用.,问题：,五、函数的
6、最值,1.闭区间a,b上连续函数的最值的求法,(比较法),步骤:,(1)求驻点和不可导点;,(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,就是最小值;,比较大小,最大的数就是最大值,最小的数,31,且只有一个驻,点，,它是极大(小)点，,则它一定是最大(小)值点.,3.对于实际问题，,且知最,若在一定区间内有唯一驻点，,大(小)值一定存在，,而且一定在定义区间内取得，,那么,可以不必讨论是否为极值，,就可断定该点就是最大,(小)值点.,六、曲线的凹凸性和拐点,32,1.定义：,(1) 若恒有,(2) 若恒有,连续曲线上有切线的,凹凸分界点称为拐点 .,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,33,
7、2.凹凸区间的求法,(1),(2),注意：,该定理换成其它区间仍然成立.,3.拐点的求法(第一充分条件),34,拐点的求法(第一充分条件),七、曲线的渐近线,1.水平渐近线,2.垂直渐近线,3.斜渐近线,35,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲率圆(弧)可以近似代替曲线弧.,(2)曲率,(3)曲率半径,(1)弧微分:,思考： 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答: 有公切线 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,八、曲率、曲率半径,36,典型例题分析,题型一、证明不等式,可以利用：1)单调性,2)中值定理,3)泰勒公式,4)凹凸性,5)求最值,37,例1,证,38,说明：,1)用单调性证明不等式的步
8、骤：,将不等式变形为一边为零,另一边就是要设的辅助函数,判断 的单调性.,用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式.,2)为快速的证明,可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数.,3)为证不等式 可用 的单调性.,思考: 证明,时, 如何设辅助,函数更好 ?,提示:,39,例2. 证明,证,故,时,单调增加 ,从而,所以原不等式成立.,40,例3,分析,取对数,41,(1)设,是方程,的一个解,则,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,(2)设,则在点 a 处( ).,B,例4,题型二、极值和拐点,42,
9、解,(3),43,例5,解,44,例6.,求函数,的极值与拐点.,解 定义区间为,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,拐点,45,例7 求数列,的最大项 .,证,求导得,列表判别:,因此在,处,也取最大值 .,又因,内只有唯一的极大点,46,试问,为何值时,在,时取得极值 ,解,由题意应有,又,取得极大值为,例8,求出该极值,并指出它是极大还是极小.,47,例9,题型三、讨论方程根的个数.,解,48,例9,49,例9,50,1)水平渐近线:,2)垂直渐近线:,3)斜渐近线:,题型四.求曲线的渐近线,51,解,没有铅直渐近线,所以它没有水平渐近线;,例10,52,单调增
10、区间为 ;,的连续性及导函数,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,题型五、与曲线的图形有关的问题,例11,53,.,在区间 上是凸弧 ;,拐点为,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图,(2) 设函数,的图形如图所示,54,(3) 设函数 在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 有( ) 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. 三个极小值点和一个极大值点.,2003数一、数二研,55,题型六、利用泰勒公式求极限,1、泰勒公式,2、麦克劳林公式,56,常用函数的麦克劳林公式,57,(1)解,58,(2)解,59,谢谢大家！,60,解,极小,极大,61,极小,极大,极大值,
