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1、1,第九章 渐近法,2,第九章渐近法,91概述,92力矩分配法的原理,93用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架,95剪力分配法,94无剪力分配法,3,91概述,计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。 渐进法的理论基础是位移法，避免组成和解算典型方程，在图表上流水作业，结果精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。,缺点：不适合电算，未知量较少时采用。,优点：概念简明，步骤单调，适合手算，在结构设计中被广泛采用。,4,（1）转动刚度：AB杆当A端产生单位转动时所需施加的杆端力
2、矩，称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。,A端一般称为近端，B端一般称为远端。,杆端抵抗转动的能力，大小只与远端的支撑条件有关。 4种杆件的转动刚度分别为：,92力矩分配法的基本原理,H.Cross于1930年提出的适于计算连续梁和无结点线位移刚架。,1.几个概念,5,(2)传递系数Cij,A,B,EI,L,1,MAB =4i,A,B,EI,1,MAB =3i,SAB=MAB=4i,SAB=MAB=3i,A,B,1,EI,MAB =i,MBA =-i,SAB=MAB=i,A,B,1,MAB,EI,SAB=MAB=0,当近端转动时，远端也产生一定的弯矩，好比近端弯矩按一定比例传到远端一样。 远
3、端与近端弯矩之比称为近端向远端的传递系数，用CAB表示。,或MBA=CABMAB,远端固定时：,CAB=0.5,远端铰支时：,CAB=0,远端滑动支撑：,CAB=1,MBA =2i,远端自由：,CAB=0,6,2.力矩分配法的基本原理,1,2,3,4,q,P,(a),用位移法计算，只有一个未知量即结点转角Z1，典型方程为：,r11Z1+R1P=0,绘出MP图（图b),可求得自由项为,R1P=,R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，称为刚臂反力矩，它等于 结点1各杆端固端弯矩的代数和，即各固端弯矩所不平衡的差值， 称为结点上的不平衡力矩。,7,r11=,绘出结构的,图（见图c)，,计算系数为：,
4、解典型方程得,Z1=,然后可按叠加法M=,计算各杆端的最后弯,弯矩。,4i12+3i13+i14,=S12+S13+S14,=S1j,8,M12=,M13=,M14=,以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不 平衡力矩反号后按转动刚度大小的比例分配给近端， 因此称为分配弯矩，12、13、14等称为分配系数， 其计算公式为,1j=,(91),结点1的各近端弯矩为：,9,1j=,(91),显然，同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即 1j=1。,各远端弯矩如下,M21=,M31=,M41=,各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动
5、Z1 角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系 数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。,10,得出上述规律后，可不必绘 MP图也不必列出和求解典,型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩。其过程分为两步：,(1)固定结点,加入刚臂，此时各杆端有固端弯矩，结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。,(2)放松结点,取消刚臂，让结点转动。相当于在结点上加入一个反号 的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除，结点获得平衡。 此反号的不平衡力矩将按转动刚度大小的比例分配给各 近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行 传递，各远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩。,11,1. 解题步骤 1）在刚结点上
6、加上刚臂(想象)，使原结构成为单跨超静定梁组合体，计算Ai。 2）计算各杆端 MF，进而求出结点不平衡弯矩MF 。 3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传递系数进行分配、传递。 4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆的最后弯矩。,12,例91,试用力矩分配法作刚架的弯矩图。,A,B,C,D,30kN/m,50kN,(a),解：,(1)计算各杆端分配系数,AB=,AC=,AD=,AB=0.445 AC=0.333 AD=0.222,(2)计算固端弯矩,据表(101）,EI,2EI,EI,4m,2m,2m,4m,12,qL2,=,+,12,qL2,=,+,8,3PL
7、,=,8,PL,=,(3)进行力矩的分配和传递,结点A的不平衡力矩为,A,C,D,AB,AC,AD,BA,CA,DA,0.445,0.333,0.222,-40,+40,0,75,-25,0,-35,+15.5,+11.7,+7.8,+7.8,0,-7.8,-32.2,+55.5,+11.7,-67.2,-32.8,0,B,55.5,60,11.7,67.2,32.8,M图 (kN.m),(b),32.2,(4)计算杆端最后弯矩并作矩图。,+35,13,93用力矩分配法计算连续梁,对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称 无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述 方法便可求解。作法是：先将
8、所有结点固定，计 算各杆固端弯矩；然后轮流放松各结点，即每次 只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把 各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递， 直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次 渐进方法来计算杆端弯矩。,14,计算步骤 1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点上的传递弯矩小到可以略去不计为止。 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆端的最后弯矩。,15,例92用力矩分配法计算图示连续梁。,0,1,2,3,25kN/m,400kN,25kN/m,解：,固定12 结点。列表计
9、算如下:,12m,6m,6m,12m,分配系数,10=,12=,21=,23=,固端弯矩MF,-300,+300,-600,+600,-300,-450,0,+150,结点1分配传递,+150,+150,+75,+75,结点2分配传递,-129,-96,-64,0,结点1分配传递,+32,+32,+16,+16,结点2分配传递,-9,-7,-5,0,0.5,0.5,0.571,0.429,结点1分配传递,+2,+3,+1,+1,结点2分配传递,-1,0,最后弯矩M,-208,+484,-484,+553,-553,0,EI,EI,EI,+225,-225,16,例93用力矩分配法计算图示连续梁
10、。,1.5kN/m,8kN,4kN,5m,8m,3m,5m,5m,1.5kN/m,8kN,4kN,4kNm,0.375,0.625,0.5,0.5,0.375,0.625,MF,0,+4.69,-8,+8,-9.38,+5.62,+2,+4,分配及传递,-4.76,-2.86,-2.38,0,A,B,C,D,E,F,I,2I,2I,I,0.8i,i,i,0.8i,1m,A,B,C,D,E,+1.24,+2.07,0,+1.03,+1.37,+1.36,+0.68,+0.68,-0.43,-0.25,-0.21,-0.25,-0.43,-0.21,-7.62,+3.31,+2.73,+0.42,
11、+0.21,+0.21,+0.11,+0.11,-0.04,-0.07,-0.03,-0.07,-0.04,-0.03,+0.03,+0.03,+0.02,+0.02,-0.01,-0.01,-0.01,-0.01,M,0,+5.63,-5.63,+10.40,-10.40,+1.16,-1.16,+4,17,1.5kN/m,8kN,4kN,A,B,C,D,E,F,I,2I,2I,I,M,0,+5.63,-5.63,+10.40,-10.40,+1.16,-1.16,+4,5.63,4.69,1.88,12,1.16,15,0,4,8.06,M图,0,10.40,3.98,18,2.分配和传递
12、从不平衡力矩最大的结点开始，经验证明这样可加速收敛。,3.由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。,4.实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递(考试只进行二轮即可)。,1. 分配系数小于1，传递系数也小于1，一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经无限次分配、传递一定达到平衡，可获得精确解。,注意:,19,1、传递系数C表示当杆件近端有转角时，_与_的比值，它与远端的_有关。,2、转动刚度SAB表示当杆件的_端发生单位转角时A端_值的大小。,3、用力矩分配法计算时，杆端最后弯矩值是同一杆端的固端弯矩和_弯矩、_弯矩的代数和。,远端弯矩,近端弯矩,
13、支撑条件,近,杆端弯矩,分配,传递,20,4、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为分配系数及传递系数1。,5.图示结构CB=_。EI=常数。,i1=EI/4,CB=4i1/(4i1+3i2)=2/3,i2=EI/6,2/3,21,，,。,6.图示结构用力矩分配法计算时分配系数:,AB=4i/(4i+3i+i+0)=1/2,AD=i/(4i+3i+i+0)=1/8,22,1适用范围 有侧移刚架刚架仅由两类杆件组成： （1）无侧移杆；（2）剪力静定杆。,94无剪力分配法,3,23,剪力静定杆AB：一端固定、一端滑动的杆，计算固端弯矩MF,A,结点B的不平衡力矩暂
14、时由刚臂承受。,MF,MFAB= -ql2/3,无侧移杆上无内力,MFBA= -ql2/6,=MFAB= -ql2/6,2计算步骤 （1）固定结点, 加刚臂阻止结点B的转动(水平方向可移动)。,24,A,（2）放松结点，分配和传递刚臂上的不平衡力矩。结点B转动Z1角，同时发生水平位移。 柱AB下固上滑，当上端转动时，柱的剪力为0, 纯弯曲，与上固下滑动而上端转相同角度时受力和变形完全相同。故转动刚度SAB=i，传递系数为CAB= -1。,纯弯曲,纯弯曲,i,2i,25,转动刚度SAB= i， 传递系数CAB= -1 分配系数:,力矩的分配和传递过程中，柱中剪力保持不变，无剪力分配法。,26,以
15、上方法可推广到多层刚架。不论有多少层，每一层柱子均可视为上滑下固，计算固端弯矩时，除了柱身承受本层荷载外，柱顶还承受剪力，其值等于柱顶以上各层水平荷载的代数和。 计算时，各柱的转动刚度 应取各自的线刚度i，而传递 系数为-1。,27,例9-4 试用无剪力分配法计算图示刚架。 解：1) 计算固端弯矩:,CE柱: 除本层荷载外，还受柱顶剪力10kN,AC柱:,EG柱:除本层荷载外，还有柱顶剪力20kN,28,29,1适用范围 横梁刚度无穷大 竖杆为弹性杆,95 剪力分配法,框架在水平荷载作用下的弯矩图,30,EI=,EI=,EI1,EI2,EI3,定义: 侧移刚度D 杆端发生单位侧移时杆端产生的剪力。,由隔离体的平衡，得：,定义：,各杆端剪力：,剪力分配系数。,31,对于本例：,1,有柱顶剪力可求出固端弯矩，这种方
