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1、地理信息系统基础,Geographical Information System,空间插值,教学内容,1 插值概论 2 内插方法 3 整体内插 4 局部内插 5 Kriging 方法,1 插值概论,插值 用已知点来估算其他未知点的过程。 在GIS中，空间插值主要用于栅格数据，估算出栅格中每个单元的值。空间插值是将点数据转换为面数据的一种方法。 需要插值的原因: 现有数据不能完全覆盖所要求的区域 现有离散曲面的分辨率、像元大小、方向与要求不符； 现有连续曲面的数据模型与要求不一致；,内插和外推,Sampled points,Estimated points,内插和外推,内插 在已观测点的区域内估
2、算未观测点的数据的过程。 外推 在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程.预测。,空间插值基础：控制点,控制点分布 控制点密度 控制点的自相关程度,2 内插方法,全局内插 在整个区域用一个数学函数来表达地形曲面。 采用全部控制点计算未知点的数据。 局部内插 将复杂的地形地貌分解成一系列的局部单元，在这些局部单元内部地形曲面具有单一的结构，由于范围的缩小和曲面形态的简化，用简单曲面就可较好的描述地形曲面。 采用样本控制点计算未知点的数据。,内插方法,整体内插： 趋势面分析 回归模型 局部方法： 泰森多边形（ Voronoi边形，边界内插） 反距离权内插 样条函数内插技术 克里金内插方法 密度估
3、算,内插方法分类,3 全局内插,曲面拟合 Z=f (x,y ),内插格网点高程,通过方程 Z=f (x,y ) 求解未知点,趋势面分析,z=f( x, y),Control Points,趋势面分析的步骤,数学曲面函数确定 内插曲面的复杂程度 计算量 系数求解 最小二乘法 拟合精度分析,趋势面分析内插函数,1、当数据为一维时 1）线性回归: 2）非线性：二次或高次多项式：,2、数据是二维的二元二次或高次多项式,常用全局内插函数分类,常用全局内插函数,常用全局内插函数特性分析,1st Order Trend,Original surface,2nd Order Trend,3rd Order T
4、rend,常用全局内插函数特性分析,一阶线性平面可模拟具有单一坡度的斜坡地形表面； 二次曲面方程可表达山头、洼地区域； 三次曲面则能描述较为复杂的地形曲面。,系数求解,系数求解,拟合精度评定,一般认为，C在60%到70%之间拟和比较好,（2）回归模型,建立因变量与自变量的联系 自变量选择 非空间属性、空间属性 影响程度 求解方法与趋势面类似 例：流域雪水量回归模型 swe = a + b*ROW + c*COL + d*ELV + e*PlanCur,整体内插缺点,由于以下缺点，在空间内插中整体内插并不常用： 整体内插函数保凸性较差 ：采样点的增减或移动都需要对多项式的系数作全面调整，从而采样
5、点之间会出现难以控制的振荡现象，致使函数极不稳定，从而导致保凸性较差； 多项式系数物理意义不明显 解算速度慢且对计算机容量要求较高。 不能提供内插区域的局部地形特征； 整体内插函数保凸性较差 采样点之间会出现难以控制的振荡现象，致使函数极不稳定,整体内插优点,优点：整个区域上函数的唯一性、能得到全局光滑连续的空间曲面、充分反映宏观地形特征等。 在空间内插中，一般是与局部内插方法配合使用，例如在使用局部内插方法前，利用整体内插去掉不符合总体趋势的宏观地物特征。整体内插函数常常用来揭示整个区域内的地形宏观起伏态势。,全局内插示例：三阶趋势面等值线地图,4 局部内插,全局内插局限 低阶多项式虽然可表
6、达各种地形曲面，但一个地区确常常包含各种复杂的地貌形态，简单的曲面并不能很好的表达这些地形曲面。理论上任何复杂的曲面都可用多项式进行逼近，但高阶多项式的缺点，也不是理想的地形描述工具。 解决这类问题的办法 分而治之，即将复杂的地形地貌分解成一系列的局部单元，在这些局部单元内部地形曲面具有单一的结构，由于范围的缩小和曲面形态的简化，用简单曲面就可较好的描述地形曲面。,局部内插,局部内插 将地形区域按一定的方法进行分块，对每一块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插，每一块都可用不同的曲面进行表达。称为空间分块内插。 局部方法： (1)泰森多边形 (2)距离反比权值插值(反距离权重内插) (3
7、)样条函数内插技术 克里金内插方法 密度估算 线性内插、 双线性内插 多项式内插 多层曲面叠加法等。,局部内插,（1）Voronoi多边形,Voronoi多边形, 泰森多边形(Thiessen,又叫Dirichlet 或Voronoi多边形) 一种极端的边界内插方法,只用最近的单个点进行区域插值. 泰森多边形按数据点位置将区域分割成子区域,每个子区域包含一个数据点,各子区域到其内数据点的距离小于任何到其它数据点的距离,并用其内数据点进行赋值.连接所有数据点的连线形成Delaunay三角形,与不规则三角网TIN具有相同的拓扑结构. 在一个多边形内，每个未知点与该多边形内的已知点最接近，而与其他已
8、知点更远.,（1）Voronoi多边形（边界内插）,泰森多边形法的基本原理 未知点的最佳值由最邻近的观测值产生。 假定任何重要的变化都发生在区域的边界上 边界内的变化则是均匀的、同质的。,Voronoi多边形,Delaunay 三角网格,Delaunay 三角网的重要性质: 空外接圆性质 在由点集V-生成的D-三角网中，每个三角形的外接圆均不包含该点集的其他任意点。 最大最小角度性质 在由点集V-生成的D-三角网中，所有三角形中的最小角度是最大的。 这两个特性，决定了Delaunay 三角网具有极大的应用价值。,Delaunay 三角网格生成步骤,Step 1. 建立初始网格 假设给定点集Pi
9、 ，首先找到一个包含该点集的外接矩形R =ri, i=1,2,3,4，称为辅助窗。一般保证矩形边框长度为点集最大边界长度的三倍。 当选择好辅助窗，就连接其任一条对角线，形成两个三角形，并对它们标号，把它们作为初始Delaunay 三角网格。 Step 2. 逐点插入 假设原先已经有一个Delaunay 三角网格T，现在欲往里插入一个新点P。此时首先需要找出所有外接圆包含P 点的三角形，并删除离P点最近的边，形成一个Delaunay 腔，随后连接新插入点与空腔的每一个顶点。,Delaunay 三角网格生成步骤,Delaunay 三角网格生成步骤,Delaunay 三角网格生成步骤,泰森多边形的建
10、立步骤,1、离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。 2、找出与每个离散点相邻的所有三角形的编号，并记录下来。这只要在已构建的三角网中找出具有一个相同顶点的所有三角形即可。,泰森多边形的建立步骤,3、对与每个离散点相邻的三角形按顺时针或逆时针方向排序，以便下一步连接生成泰森多边形。 设离散点为o。找出以o为顶点的一个三角形，设为A；取三角形A除o以外的另一顶点，设为a，则另一个顶点也可找出，即为f；则下一个三角形必然是以of为边的，即为三角形F；三角形F的另一顶点为e，则下一三角形是以oe为边的；如此重复进行，直到回
11、到oa边。,泰森多边形的建立步骤,4、计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。 5、根据每个离散点的相邻三角形，连接这些相邻三角形的外接圆圆心，即得到泰森多边形。对于三角网边缘的泰森多边形，可作垂直平分线与图廓相交，与图廓一起构成泰森多边形。,泰森多边形的建立实例,（2）线性内插：,线性内插： 地形曲面视为三角网。 将内插点周围的3个数据点个的数据值带入多项式，可解算出系数。,（3）双线性内插：,双线性内插： 当y为常数时，表达的是x方向的线性函数，而当x为常数时，则为y方向的线性函数。 双线性内插函数中有四个未知数，需要四个已知点。 线性内插和双线性内插函数由于物理意义明确，计算简单，是基于T
12、IN和基于正方形格网分布采样数据的DEM内插和分析应用的最常用的方法。,当数据是按正方形格网点布置:,（4）双三次多项式（样条函数）内插,将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算出所有的系数。,16个点,内插速度很快 可用于精确的内插 可用于平滑处理,特点,（5）逐点内插：移动平均法,逐点内插：是以内插点为中心，确定一个邻域范围，用落在邻域范围内的采样点计算内插点的高程值。,逐点内插,逐点内插,逐点内插本质上是局部内插，但与局部分块内插有所不同： 局部内插中的分块范围一经确定，在整个内插过程中其大小、形状和位置是不变的，凡是落在该块中的内插点，都用该块中的内插函数进行计算。 逐点内插法的
13、邻域范围大小、形状、位置乃至采样点个数随内插点的位置而变动，一套数据只用来进行一个内插点的计算。,逐点内插,逐点内插法的基本步骤为： 定义内插点的邻域范围； 确定落在邻域内的采样点； 选定内插数学模型； 通过邻域内的采样点和内插计算模型计算内插点的高程。,（6）加权移动平均法,加权移动平均法:i是采样点i对应的权值 加权平均内插的结果随使用的函数及其参数、采样点的分布、窗口的大小等的不同而变化。通常使用的采样点数为68点。 对于不规则分布的采样点需要不断地改变窗口的大小、形状和方向，以获取一定数量的采样点。,(7) 距离反比权值插值IDW,权重：距离的n次幂倒数，每个样本点对预测点的贡献不一样
14、，权重大小随距离大小而变化。,d,IDW基本公式,幂次：K=1，2，3,IDW基本公式,IDW插值计算实例-Supermap,IDW插值计算实例-Supermap,IDW基本公式,IDW插值示例,（8）样条函数插值,原理：最小的曲率面 基本表达式： BasicFunction + TrendSurface = Q(x,y) 方法： 薄板样条函数 规则样条函数 张力样条函数 规则张力样条函数,名称,基函数,趋势函数,薄板样条函数,变形1,规则样条函数,薄板张力样条,样条函数插值,公式注解,A, a, b, c为相关系数，通过已知点和附加条件求解 D为待定点和控制点之间的距离 基函数中c为Eule
15、r常数，c=0.577215 和为张力系数 ，一般取0.1 K0(d/)为修正的零阶Bessel函数，可由一多项式估计得到。,样条函数求解,样条函数求解步骤,样条函数示例,Regularized spline with tension,Thin plate spline with tension,样条函数应用,平化和连续的面 特征： 较IDW法更为平滑 受控制点分布影响较大 数据贫乏区，插值结果较实际大 张力系数一般不宜过大，在0.1-0.5之间,5 Kriging 方法,克里格方法与反距离权插值方法有些类似，两者都通过对已知样本点赋权重来求得未知样点的值，可统一表示为：,5 Kriging
16、方法,不同 在赋权重时，反距离权插值方法只考虑已知样本点与未知样点的距离远近 克里格方法不仅考虑距离，而且通过变异函数和结构分析，考虑了已知样本点的空间分布及与未知样点的空间方位关系。 主要问题 合理的插值邻域控制点点数 邻域大小 除距离外的合理权值 精度评定,地学统计简介,地学统计简介 法国数学家George Matheron和南非矿业工程师 D.G. Krige 区域变量理论 随机变量和确定变量之间 地理分布现象不规则，不能用平滑数学函数进行模拟 内在假定 差异的稳定性和可变形 当结构成分确定后，差异变化为同性变化，不同位置之间的差异仅为距离的函数,半方差理论,半方差理论（Semivariance） 空间相关性的度量指标 定义为所有恒定距离的成对点的方差之半 特性 随距离增加而按确定规律变化 距离=0，半方差=0； 参数 梁 值域 融核,半
