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1、圆锥曲线经典题型一选择题（共10小题）1直线y=x1与双曲线x2=1（b0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A（1，）B（，+）C（1，+）D（1，）（，+）2已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）ABCD3设F1，F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）ABCD4过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作直线y=x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）AB2CD5若双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（
2、x2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A（2，+）B（1，2）C（1，）D（，+）6已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）ABCD27设点P是双曲线=1（a0，b0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）ABCy=2xDy=4x8已知双曲线的渐近线与圆x2+（y2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A（，+）B（1，）C（2+）D（1，2）9如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近
3、线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）Ax2=1B=1C=1D=110已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则APF的面积为（）ABCD二填空题（共2小题）11过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是 12设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为 三解答题（共4小题）13已知点F1、F2为双曲线C：x2=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，MF1F2=30（1）求双曲线C
4、的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值14已知曲线C1：=1（a0，b0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍（）求曲线C1的方程；（）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点15已知双曲线：的离心率e=，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为1（）求双曲线的方程；（）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由16
5、已知双曲线C：的离心率e=，且b=（）求双曲线C的方程；（）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求PEF的面积一选择题（共10小题）1直线y=x1与双曲线x2=1（b0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A（1，）B（，+）C（1，+）D（1，）（，+）【解答】解：直线y=x1与双曲线x2=1（b0）有两个不同的交点，1b0或b1e=1且e故选：D2已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）ABCD【解答】解：由题意，=（x0，y0）（x0，y0）=x023+y02=3y0210，所以y0故选
6、：A3设F1，F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）ABCD【解答】解：取PF2的中点A，则，O是F1F2的中点OAPF1，PF1PF2，|PF1|=3|PF2|，2a=|PF1|PF2|=2|PF2|，|PF1|2+|PF2|2=4c2，10a2=4c2，e=故选C4过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作直线y=x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）AB2CD【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（xc）代入双曲线渐近线方程y=x得A（，），由=2，可得B（，），
7、把B点坐标代入双曲线方程=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e=故选：C5若双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A（2，+）B（1，2）C（1，）D（，+）【解答】解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆（x2）2+y2=2相交圆心到渐近线的距离小于半径，即b2a2，c2=a2+b22a2，e=e11e故选C6已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）ABCD2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F
8、的半径为b，令x=c，可得y=b=，由题意可得=b，即a=b，c=a，即离心率e=，故选C7设点P是双曲线=1（a0，b0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）ABCy=2xDy=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RTPF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C8已知双曲线的渐近线与圆x2+（
9、y2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A（，+）B（1，）C（2+）D（1，2）【解答】解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆x2+（y2）2=1相交圆心到渐近线的距离小于半径，即13a2b2，c2=a2+b24a2，e=2故选：C9如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）Ax2=1B=1C=1D=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2y2=（0），代入点P（2，），可得=42=2，可得双曲线的方程为x2y2=2，即为=1故选：B10已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐
10、标是（1，3），则APF的面积为（）ABCD【解答】解：由双曲线C：x2=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y0，则y=3，则P（2，3），APPF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，APF的面积S=丨AP丨丨PF丨=，同理当y0时，则APF的面积S=，故选D二填空题（共2小题）11过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是20【解答】解：|PF1|+|QF1|=|PQ|=8双曲线x2=1的通径为=8PQ=8PQ是双曲线的通径PQF1F2，且PF1=QF1=PQ=4由题意，|PF2|PF1|=2，|QF2|QF
11、1|=2|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为2012设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为【解答】解：取PF2的中点A，则，2=0，OA是PF1F2的中位线，PF1PF2，OA=PF1 由双曲线的定义得|PF1|PF2|=2a，|PF1|=|PF2|，|PF2|=，|PF1|=PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，（）2+（）2=4c2，e=故答案为：三解答题（共4小题）13已知点F1、F2为双曲线
12、C：x2=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，MF1F2=30（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在RtMF2F1中，MF1F2=30，所以（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为，则点Q到两条渐近线的距离分别为，（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cos=，所以=（14分）14已知曲
13、线C1：=1（a0，b0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍（）求曲线C1的方程；（）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点【解答】（）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为（2分）曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，=即a2=b2，（3分）a=b=1，曲线C1的方程为x2y2=1； （4分）（）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+ （5分）与双曲线方程x2y2=1联立，可得（n21）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：yy2=（x） （9分）令y=0，可得x= （11分）直线AC过定点（，0）
