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1、 宁波工程学院理学院学年论文(设计) 理学院学年论文(设计) 论文（设计）题目： 泰勒公式及其应用 专 业： 班 级： 姓 名： 学 号指 导 教 师： 职 称 2011年6月20日 目录摘要 . 2 1绪论.3 1.1 泰勒公式的研究目的和意义 . 3 1.2 本文研究的主要内容 . 3 2基本知识.4 2.1 泰勒公式及其余项.4 2.1.1带有皮亚诺余项的泰勒公式.4 2.1.2带有拉格朗日余项的泰勒公式.43泰勒公式的应用.6 3.1 利用泰勒公式判断函数的极值.6 3.2 利用泰勒公式求极限.7 3.3 利用泰勒公式证明不等式.8 3.4 利用泰勒公式证明积分公式.9 3.5 利用泰
2、勒公式证明根的存在唯一性.9 3.6 泰勒公式在近似计算中的应用.10参考文献.13致谢.15 摘要 本文较为详细地介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念相关定理及余项表达式.在此基础上，对泰勒公式在证明等式和不等式，求极限和中值点的极限，函数方程和线形插值中的应用做了介绍，另外还可以用来求极值，研究函数图形的局部形态，在近似计算中的应用等方面进行了全面地总结同时配备了相应的典型例题和文字说明。 应该说本文的最大特点是所涉及到的内容不仅有我们所经常用到的内容，还有一部分是我们不很常见的泰勒公式的应用，这对于补充一下自己的课外知识的学者很有帮助。关键词：泰勒公式；极值，不等式，极限 1. 绪论
3、1.1 泰勒公式的研究目的和意义随着计算机和通信技术的迅速发展在自然科学和工程技术等众多领域中利用计算机进行近似计算，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节也就是说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法。泰勒公式是一个多项式的拟合问题而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松的，而且研究也是很方便的，特别是对计算机编程计算是极为方便如果将所研究的对象转化为多项式那么问题就会比较简单了。这就使我们想到可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此有很多科学家和学者对此做出了重要的贡献.首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的。 泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到格
4、里戈里-牛顿插值公式然后令初始变量为零项数为无穷但没有给出余项的具体表达式.随着后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式现代也有很多期刊和教材对这部分内容进行了介绍对近似计算上的应用介绍也已较全面较系统。但在其它领域的应用则显简单不系统，不全面，为了方便以后的学习有必要对此部分内容进行归纳总结。关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某 些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很
5、大的空间。泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具。其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来 研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题 。 1.2 本文研究的具体内容 泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里重要的研究内容。本文将简略介 绍一些基本的泰勒公式的应用实际方法，然后把泰勒公式应用到求极限等方面中去，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性。论文
6、解决的关键问题了解泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，熟练掌握带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式及其应用。 2.基本知识2.1 泰勒公式及其余项2.1.1 带有皮亚诺余项的泰勒公式若函数在点存在阶导数，则有 ，即 （1）式称为函数 在点 处的泰勒公式， 称为泰勒公式的余项，形如 的余项称为佩亚诺型余项，所以式称为带有佩亚诺余项的泰勒公式 其中，用的较多的是泰勒公式（1）在时的特殊形式： 。它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式。 2.1.2 带有拉格朗日余项的泰勒公式佩亚诺型余项只是定性地告诉我们:当 时，逼近误差是较 高阶无穷小量，现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便
7、于对逼近函数误差进行具体的计算或估计 定理 （泰勒定理） 若函数 在 上存在直至 阶的连续导函数， 在内存在 阶导函数，则对任意给定的 ，至少存在一点 使得 上式同样称为泰勒公式，它的余项为 称为拉格朗日余项，所以（2）式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式 注意到，时，（2）式即为拉格朗日中值公式 所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广。当时，得到泰勒公式 常见的几种函数的泰勒公式展开： 3 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式判断函数的极值 例1 （极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在出二阶可导，且，。 （i）若，则在取得极大值。 （ii）若，则在取得极小值。证明：由条件，可得在
8、处的二阶泰勒公式 由于因此 又因，故存在正数，当有 即在取得极大值。同样对，可得在取得极小值。3.2 利用泰勒公式求极限 有时利用洛必达法则求待定型极限，会遇到很复杂的计算，而利用泰勒公式求极限却简单很多. 例2 求极限 分析：此题分母为，如果用罗比达法则，需连续用4次，比较麻烦。而用带佩亚诺余项的泰勒公式求解则比较简单。 解：利用展开式 将换成，有： 因而求得 3.3 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷。例4 当时，证明.证明： 取，则,，.代入泰勒公式，其中，得 .故当时得，.3.4利用泰勒公式证明
9、积分公式例5 设在具有连续的二阶导数，证明在内存在，使得 证明： 将在按泰勒公式得 其中在与之间，对其积分 又 所以 3.5 利用泰勒公式证明根的存在唯一性例 6 设在上二阶可导，且，对，证明：在内存在唯一实根。 分析：这里是抽象函数，直接讨论的根有困难，由题设在上二阶可导，且可考虑将在点展开一阶泰勒公式，然后设法应用戒指定理证明。证明：因为，所以单调减少，又，因此时， ，故在 上严格单调减少，在点展开一阶泰勒公式有 由题设，于是有，从而必存在，使得， 又因为，在上应用连续函数的介值定理，存在，使，由的严格单调性知唯一，因此方程在内存在唯一实根。3.6 泰勒公式在近似计算中的应用 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用迈克劳林展开得到的近似计算式为 其误差是余项。例7 计算的值，准确到解：要使： 故，取n=4, 例8 估计下列近似公式的绝对误
