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1、第一章 行列式1.1 二阶、三阶行列式一、计算下列行列式1、2、3、二、解方程1、解：计算行列式得，因此2、解：计算行列式得，得，因此1.2 n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式1、2、3、4、5、 将第2、3、4列乘以-1加到第一列得6、 将第2、3、4行全部加到第1行 将第1行乘以-1加到第2、3、4行二、计算下列行列式1、 第1行加到第2、3行2、 按第1列展开3、 按第4行展开4、 按第1行展开5、 第1列乘以-1加到第2、3、4列 第2列乘以-1加到第3、4列计算下列n阶行列式：1、 按第1列展开2、 将第2、3、n行全部加到第1行 第1行乘以-1加到以下各行3、 范德蒙行列式4、
2、已知，计算 和 .解：将上式设为，此式设为，可直接计算此行列式结果为3，也可按以下方法来做：题目中的原行列式设为由行列式的性质得：则：三、解下列方程1、解：第1行乘以-1加到2、3、4行，得将1、2、3列加到第4列得将第2、3行交换，1、4行交换后得上三角形行列式，因此，因此，2、解：此行列式是范德蒙行列式，得因此，3、解：由行列式的加法则，再相加，此行列式为范德蒙行列式得因此1.4 克莱姆法则一、解线性方程组1、解：，解得2、解：，解得二、求一个二次多项式使得解：设，解得三、已知线性方程组只有零解，求的取值范围解：系数行列式为，因此四、设线性方程组有非零解，则应取何值？若线性方程组的右端变为
3、2，3，2，则为何值时，新的线性方程组有唯一解？解：系数行列式为则当时方程组有非零解；若线性方程组的右端变为2，3，2，则当时方程组有唯一解第二章 矩阵2.1 矩阵定义及其运算一、填空题1、设为三阶方阵，且，则.说明：2、的充分必要条件是.二、选择题1、设都是阶矩阵，则的充分必要条件是（ C ）.(A) (B) (C) AB=BA (D) 2、设都是阶矩阵，则（ C ）.(A) (B) (C) (D) 3、设为阶矩阵，若，则等于（ C ）.(A) (B) (C) (D) 说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) 也是对称
4、矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵 (D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误三、设,为二阶单位阵，满足, 求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此四、1、已知，求结果为2、已知，求结果为 3、已知，求，结果为 4、计算，结果为0 5、计算 五、设 证明：当且仅当证：必要性，已知，即，则，得充分性，已知，则，因此2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则 4 ， 4 ，说明：，2、设为矩阵，为矩阵，则 -8 说明：3、设为矩阵，则是可逆的 充分必要 条件4、已知，且可逆，则=说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则说明：二、选择题1、若由必能推出
5、其中为同阶方阵，则应满足条件（ B ）（A） （B） （C） （D）2、设均为阶方阵，则必有（ C ）（A） （B） （C） （D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵证：因此，和都可逆，且，2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题说明：由于，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；（D）以上都不对说明：（B）为定理，正确；（A
6、）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，则必有（ C ）（A） （B） （C） （D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中， 将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此四、已知，求矩阵解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得 （1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此五、已知，其中，求矩阵解：由得：，即因此，由，则，六、设，为三阶可逆矩阵,求解：，则因此，2.5 矩阵的秩一、填空题1、 在秩是的矩阵中，所有的阶
7、子式都 为0 2、设是矩阵，则 3 说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为4、设, 秩，则 -3 说明： 将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子 将第1行乘以-1加到以下各行，因此当或时，但时显然，因此5、设, 秩，则 1 说明：二、求下列矩阵的秩1、，2、，3、，三、设，1）求；2）求秩（要讨论）解：则当时，；当时，；当时，四、讨论矩阵的秩解：当且、时，；其它情况，第三章 向量3.1 向量的概念及其运算1、已知,求， 及.结果： 2、已知,满足 ，求.结果：3、设，其中，求结果：4、写出向量的线性组合，其中：（1）（2）结果：1）
8、 2）5、已知向量组，问：向量是否可以由向量线性表示？若可以，写出其表达式；解：设即可得方程组：，用克拉默法则可得：，则向量可以由向量线性表示，3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）线性相关包含零向量的向量组都是线性相关的2）线性无关两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例3），因此向量组线性无关4）线性相关5）线性相关向量个数大于向量维数，必线性相关2、填空题1） 设向量组线性相关，则 2 说明：，则2） 设向量组线性无关，则必满足关系式说明：3） 若 维单位向量组可由向量组线性表示，则说明：书72页推论13、选择题1）向量组线性无关的充要条件是（C） 向
9、量组中必有两个向量的分量对应不成比例 向量组中不含零向量 向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示 存在全为零的数，使得2）设其中是任意实数，则（C） 向量组总线性相关 向量组总线性相关 向量组总线性无关 向量组总线性无关4、已知向量组线性无关，证明：(1) 线性无关证明：设即，由线性无关得，即，因此线性无关(2) 线性相关证法1：设即，由线性无关得，当时方程组成立，因此线性相关证法2：由，得线性相关5、已知 ，问：向量能否由向量组唯一线性表示？解：设，即方程组系数行列式，因此可由向量组唯一线性表示，3.3 向量组的秩1、填空题（1）若，则向量组是线性 无关 说明：由知线性无关，线性无
10、关的向量组减少向量个数还是线性无关（2）设向量组的秩为，向量组的秩为，且，则与的关系为2、选择题（1）若向量组是向量组的极大线性无关组，则论断不正确的是（ B ）可由线性表示可由线性表示可由线性表示可由线性表示（2）设维向量组的秩，则（ B ） 向量组线性无关 向量组线性相关 存在一个向量可以由其余向量线性表示 任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若和都是向量组的极大线性无关组，则（C） 3、求下列向量组的秩（必须有解题过程）（1）解：由，得向量组的秩为3（2） （要讨论）解：当，时秩为3；当时秩为2；当时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线
11、性无关组线性表示（1）解：为极大线性无关组，且（2）,解：为极大线性无关组，5、已知向量组的秩为，1）求2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示解：（1），（2）为极大线性无关组，6、设维单位向量可由维向量组线性表出，证明向量组线性无关证明：由维单位向量可由维向量组线性表出，且维单位向量可由维向量组线性表出，因此这两个向量组等价，由的秩为，因此的秩为，因此线性无关7、设，证明：线性无关证明：设，即则由得：，系数行列式因此线性无关8、设，若各向量组的秩分别为：，证明：向量组的秩为4证明：反证法，假设向量组的秩小于4，由知，线性无关，根据书69页定理5知：可由线性表
12、示，设为，即 （1）再由，得线性相关，再由刚才定理知：可由线性表示，设为，代入（1）得：因此可由线性表示，则线性相关，与矛盾因此向量组的秩为43.4 向量空间1、设问是不是向量空间，为什么？解：是向量空间，不是向量空间（大家自己证明）2、向量在基，下的坐标是说明：设方程，解之即可3、略4、试证：由生成的向量空间就是，并求的一组标准正交基证：由，则线性无关，则为四个三维向量，必线性相关，且可由线性表示，因此，所生成的向量空间为由施密特正交化法：，单位化得：，为空间的一个标准正交基第四章 线性方程组1、填空题1）线性方程组无解，且， 则应满足 4 ； 线性方程组有解，且，则应满足 3 2）设是方阵，线性方程组有非零解的充要条件是说明：由，得3）设元线性方程组有解，若，则的解空间维数为 2 说明：解空间的维数+结果为4）设为四元非齐次线性方程组，是的三个非零解向量，则的通解为说明：由4-31知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量，而是的一个解，因此齐次线性方程组的通解为，再由，以上二式相加除以2知，是的一个特解，因此的通解为5）若既是非齐次线性方程组的解，又是的解，则说明：由是非齐次
