《线性方程组 23节 齐次线性方程组解的结构课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组 23节 齐次线性方程组解的结构课件（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性方程组的向量表示,方程组(1)与向量方程（2）同解,2.3 齐次线性方程组解的结构,(1),(2),齐次线性方程组,其中,令,则方程组 可表为 称上式为线性方程组 的向量表达式。,结论：,方程组 有非零解 线性相关,秩 = 秩 n 。,定理 齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必 要条件是,秩(A) A的列数=未知数的个数,例 设,且存在 3阶非零方阵 B，使 BA= 0。求 a。,解 因 BA = 0，故 。令,则 均为齐次线性方程组 的解。,因 ，故存在 。于是，齐 次线性方程组 有非零解。由此得，,秩( AT ) AT 的列数=3,即,秩(A) = 秩( AT ) 3。,而,故得
2、，a = 1。,性质 设 是齐次线性方程组 AX = 0的任意 两个解向量， 是任意常数，则有,（1） 是此方程组的解向量,（2） 是此方程组的解向量,定义 n元线性方程组的一个解看成是一个n元列向量，称为解向量。,证 (1)因AX1=0, AX2=0, 故A(X1+X2)=AX1+AX2=0, 所以 X1+X2 也是 AX=0 的解。,(2)因A(k1X1)=k1(AX1)=k10=0, 故k1X1也是AX=0的解。,注 齐次线性方程组的这两个性质可综合为： 若 X1, X2 是齐次线性方程组 AX=0 的解向量，则 X1, X2 的任意线性组合 k1X1+k2X2 也是 AX=0的解向量。
3、 并且，这个结论可推广到任意有限个解向量的情形。,定义 设 是齐次线性方程组AX=0的 t 个解向量。若它们满足,（1） 线性无关,（2） 可线性表出 AX=0 的任一解向量,则称 是齐次线性方程组 AX=0 的一个 基础解系。,注1 基础解系可视为齐次线性方程组解集合的极大无关组，因此基础解系不唯一，但包含的解向量的个数唯一确定。,注2 上述齐次线性方程组AX0的一般解可表示为k1 X1 + k2 X2 + +kt Xt , 这里 k1, k2, , kt 是任意常数。,定理 设A是mn矩阵。若 秩(A) = r n，则齐次 线性方程组 AX=0存在基础解系，且基础解系包含n-r 个解向量。
4、,定理 设A是mn矩阵。若 秩(A) = r n，则齐次 线性方程组 AX=0存在基础解系，且基础解系包含n-r 个解向量。,基础解系的求法：,设有n元齐次线性方程组AX=0，且 秩(A)= r,（1）系数矩阵 ；,（2）从阶梯形方程组 BX = 0中确定自由未知数,（3）求一组特解,（4）则 ，且方程 组的一般解为,这里 是任意 n-r 个常数。,例 求下述方程组的一般解,解,故一般解为 。,例 求下列齐次线性方程组的一般解,解, 一般解为 （ 是任意常数） 。,例 设A是mn矩阵,且 秩(A) = r n，则齐次线 性方程组AX=0的任意 n - r个线性无关的解向量均构 成一个基础解系。,例 设 是齐次线性方程组 AX=0的一个 基础解系，问下列三组向量中那一组也是基础解系？,(A),(B),(C),作业 习题二(P112)： 31(2), 36, 38, 43 (31, 34-39, 42-43, 46均可作为练习),
