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1、第七章 系统的状态变量分析,状态及状态方程的概念 状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解,经典的和现代的系统理论,经典的系统理论 前面各章关于系统的理论属经典的线性系统理论，它具有明显的局限性， 未能全面揭示系统的内部特性， 不容易有效地处理多输入多输出系统。 现代的系统理论 状态空间分析法不仅能用于多输入多输出系统， 也能成功地用来描述非线性系统或时变系统， 并且易于借助计算机计算。,1 状态及状态方程的概念,描述系统的两种方法： 输入输出描述法：主要表达输入信号与输出信号之间的关系，只关心系统的输入和输出的有关变量，而不涉及系统内部，称外部表达法。 状态变量描述法：是以
2、系统内部某些变量作为状态变量，这种描述法表达出系统的全部状态和性能，构成了对系统的内部描述，称为内部表达法。 状态和状态变量： 对于一个动态系统，状态是表示系统的一组最少变量（被称为状态变量），它满足两条： 只要知道t=t0时这组变量和tt0的输入函数； 决定tt0的系统的全部的其它变量。 系统的状态变量不是惟一的。,例 1,如图所示电路中，选 x1(t)、 x2(t)为状态变量。今已知 t =1s时的状态为 x1(1)=5V， x2(1)=2A；激励 f (1)=7V。则 t =1s时，i1(1)_A； i2(1)_A ； iC(1)_A； u3(1)_A。,2,1,-1,6,例 2,如图所
3、示电路中，不能作为状态变量的是_。 (A) uL(t)，i2(t)； (B) uC(t)，iC(t)； (C) uC(t)，u1(t),uL(t),i2(t)相互独立,可见， uL(t)，i2(t)可以作为状态变量。,判断(A),例 2,如图所示电路中，不能作为状态变量的是_。 (A) uL(t)，i2(t)； (B) uC(t)，iC(t)； (C) uC(t)，u1(t),uC(t),iC(t)相互独立,可见， uC(t)，iC(t)可以作为状态变量。,判断(B),例 2,如图所示电路中，不能作为状态变量的是_。 (A) uL(t)，i2(t)； (B) uC(t)，iC(t)； (C)
4、uC(t)，u1(t),uC(t),u1(t)相互不独立,可见， uC(t)，iC(t)不能作为状态变量。,C,判断(C),系统的状态变量表达式,系统动态方程由两部分组成： 状态方程：一阶微分方程组或一阶差分方程组。 输出方程：由状态变量和激励表示的输出响应。 一般形式为： 连续系统,其中 为状态变量的一阶导数,状态方程,输出方程,离散系统,状态方程,输出方程,状态变量的数目,正常网络： 状态变量数储能元件数 非正常网络： 由纯电容构成的回路,所以，状态变量数储能元件数电容回路数,状态变量的数目,由纯电感构成的割集,所以，状态变量数储能元件数电感割集数,状态变量数储能元件数电容回路数和电感割集
5、数。,2 状态方程的建立,直接编写电路的状态方程： 步骤 选择状态变量：选取独立的电容电压和独立的电感电流作为系统的状态变量。 对选定的每一个电感电流，列写一个包括此电流一阶导数的回路电压方程； 对选定的每一个电容电压，列写一个包括此电压一阶导数的节点电流方程。 消去非状态变量。 写成标准形式。,例 1,如图所示电路，以 x3(t)为输出。列写状态方程，并写 成矩阵形式，指出A、B、C、D矩阵。,解：,状态方程为：,输出方程为：,A矩阵为,B矩阵为,C矩阵为,D矩阵为,例 2,试列出如图所示电路的状态方程。,解：,由H(s)求状态方程,H(s) 信号流图 状态方程 直接模拟 第一种形式：,信号
6、流图如图所示设积分器输出作为状态变量，,所以，状态方程和输出方程为,由H(s)求状态方程,H(s) 信号流图 状态方程 直接模拟 第二种形式：,信号流图如图所示设积分器输出作为状态变量，,所以，状态方程和输出方程为,由H(s)求状态方程,H(s) 信号流图 状态方程 并联模拟,信号流图如图所示设积分器输出作为状态变量，,所以，状态方程和输出方程为,由H(s)求状态方程,H(s) 信号流图 状态方程 级联模拟,所以，状态方程和输出方程为,由微分方程求状态方程,例：微分方程组为,求状态方程和输出方程。,解：这是一个二输入二输出系统。方程可写为,设积分器输出作为状态变量，,所以，状态方程和输出方程为
7、,离散系统的状态方程,例：列写如图所示离散系统的状态方程和输出方程。,解：设延迟器的输出为状态变量：x1(k), x2(k),所以，状态方程和输出方程为,3 连续系统状态方程的解,状态方程的时域解：,公式推导见书153面,零输入响应,零状态响应,其中： 称为状态转移矩阵。,状态转移矩阵的计算,状态转移矩阵 计算公式：,系数 0n-1 的求法：,特征根为单根时：,特征根为重根时：,A 的特征方程：,例 1,已知状态方程的系数矩阵,解：A 的特征根, 求状态转移矩阵 eAt,根据：,解得：,查公式,例 2,解：,状态转移矩阵由上例算出。,状态方程为,查公式,状态方程的s域解,零输入响应,零状态响应
8、,其中： 为 (t) 的拉氏变换。,其中， 称为系统函数，,H(s)的极点就是 |sI-A| 的零点，即系统的特征方程为,例 3,解：状态转移矩阵为,状态方程为,根据：,查公式,例 3,故有：,例 4,如图所示电路，以 x1(t)、 x2(t)状态变量，y(t)为响应。 (1)列写电路的状态方程与输出方程； (2)求H(s)与h(t)。,解：(1)电路的状态方程与输出方程为,例 4,(2)先求状态转移矩阵为,查公式,例 5,如图所示系统。 (1)列写状态方程与输出方程；,解：(1)系统的状态方程和输出方程为,例 5,解：先求状态转移矩阵为,(2)求系统的微分方程和单位冲激响应；,系统的微分方程
9、为；,系统的冲激响应为；,查公式,例 5,解：先求零状态响应,(3)已知 f (t)=(t)时的全响应 求系统的零输入响应yzi(t)与初始状态 x(0-)；,故零输入响应,又因有：,初始状态为：,查公式,4 离散系统状态方程的解,状态方程的时域解：,公式推导见书161面,零输入响应,零状态响应,其中： 称为状态转移矩阵。,状态转移矩阵的计算,状态转移矩阵 计算公式：,系数 C0Cn-1 的求法：,A 的特征方程：,特征根为单根时：,即：,特征根为重根时：,例 1,已知状态方程的系数矩阵,解：A 的特征根, 求状态转移矩阵 Ak,根据：,解得：,查公式,状态方程的Z域解,零输入响应,零状态响应,H(z)的极点就是 |zI-A| 的零点，即系统的特征方程为,其中： 为 (k) 的Z变换。,其中， 称为系统函数，,例 2,离散系统如图所示。 (1)系统的状态方程和 输出方程；,解：(1)状态方程和输出方程为,例 2,解：(2)先求状态转移矩阵为,(2)系统的单位函数响应h(k);,查公式,例 2,解：(3)由,(3)若初始状态x1(0)=x2(0)=1, 激励 f (k)=(k), 求其状态变量 x(k)和 y(k)。,查公式,
