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1、第二章、线性系统的数学模型,控制系统数学模型概述,五、古典控制理论中控制系统模型描述方法 1、微分方程 2、传递函数,四、实际工程应用中建立模型的一般步骤 1、把各部件尽可能地作线性化处理； 2、建立线性化的系统模型（近似模型）； 3、求系统的近似特性； 4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。,六、建立控制系统数学模型的一般方法 1、机理分析法 2、实验辩识法,第一节 线性系统的输入输出时间函数描述,1、建立的目的：确定被控制量与给定输入或扰动之间的关系，为分析和设计创造条件,2、建立输入输出时间函数描述的方法 分析系统的工作原理，作合理的假设； 确定系统的输入量和输出量； 根据物理或化学定
2、律例写描述系统运动的方程； （常用定律：基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律） 消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。,一、建立线性系统的输入输出时间描述函数,例1、 弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y，求该系统的输入输出描述,解：（1）分析物体m的受力情况，假设k为常数、f为常数;,（2）输入量为F，输出量为y;,（3）根据牛顿定律列写方程,（4）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。,例2、 如图为两个形式相同的RC电路串联组成的滤波电路，建立输入电压为u,求电容C2两端电压uc为输出的微分方程。,解： （1）分析电路的工作原理，假设电阻是理想
3、电阻器，电容也是理想的电容器；,（2）输入量为u，输出量为uc;,（3）根据基尔霍夫定理列写方程,（4）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。,二、描述线性定常系统输入输出关系的微分方程一般形式：,三、实验法建立模型基本原理,1、基本原理： 设系统是线性定常系统，且t=0时系统的响应及其各阶导数均为零，则其响应与输入之间其次性和线性关系，即满足,2、脉冲函数,单位脉冲函数,延迟单位脉冲函数,3、实验方法,如果以脉冲强度为A的延迟脉冲函数作为输入函数，将其施加于初始条件为零的线性定常系统，它将满足,第二节 线性系统的输入输出传递函数描述,R(S)输入函数的拉氏变换 C(S)输出函数的拉
4、氏变换 S 拉氏算子,说明:,1、拉氏算子为复变量，单位为S-1,2、利用拉氏变换之后，卷积分公式变成代数方程，G（S）称为系统的传递函数，它是系统单位脉冲响应的象函数，在电路分析中也称为网络函数；,3、卷积分公式只适用于初始条件为零的线性定常系统，传递函数可定义为初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；,4、传递函数中的S算子可与角频率联系起来，传递函数也称为频域描述。,5、得到系统传递函数的方法 实验法、分析法,用分析法求系统传递函数,假设通过对系统机理模型分析得到n阶系统的微分方程为,假设初始条件为零！对等式两边取拉氏变换可得：,极点：,零点：,代数方程式的根由方程
5、式的结构与其各项系数确定，系统极点和零点由系统结构与参数确定。,第三节 非线性数学模型的线性化,1、什么叫非线性数学模型的线性化？,在一定条件下将非线性系统近似的视为线性系统,2、典型非线性发电机激磁特性,3、小范围线性化的概念和原理,假设对于一般的非线性系统，其输入量为r,输出量为c=f(r),并设在给定的工作点c0=f(r0)处各阶导数均存在，则可以展开成泰勒级数：,在处理线性化问题时，要注意以下几点：,（1）工作点不同，线性化方程的参数不同；,（2）当输入量变化范围较大时，用上述方法建立模型时会会引入较大误差；,（3）本质非线性，不能采用上述线性化方法，小范围线性化只适用于非线性不很严重
6、的非线性系统；,（4）线性化后得到的微分方程，是增量方程，但为了简化方程，一般略去增量符号,第四节 典型环节的数学模型,什么是典型环节? 不同的物理系统是由许多元件、按不同结构和不同运动原理构成的。但抛开具体的结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节。,常见典型环节: 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和迟后环节。,一、比例环节,特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系,传递函数：,二、惯性环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列微分方程,单位阶跃响应：,在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出是非周期的指数函数。当
7、t=34时输出量才接近稳态值。,三、积分环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,单位阶跃响应：,常见物理系统：电机拖动系统,齿轮减速比,设以电动机的转速为n转/分为输入量，以减速齿轮带动负载运动的轴角位移（单位为rad)为输出量，则,四、微分环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,单位阶跃响应：,常见物理系统：RC电路,微分环节和惯性环节的串联组合,实际上是一个比例环节和微分环节的并联组合,五、振荡环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,单位阶跃响应：令K=1,令：,振荡环节的单位响应是有阻尼的正弦曲线。振荡程度与阻尼比有关，阻尼比越小，则振荡越
8、强；阻尼比为零时，出现等幅振荡；阻尼比越大，则震荡衰减越快。,常见物理系统：弹簧阻尼系统,机械旋转系统,RLC电路,六、纯滞后环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,单位阶跃响应：延迟单位脉冲函数,相似系统,1、什么是相似系统？ 2、相似变量 3、了解相似变量和相似系统的意义,作 业,1、P45 25 非线性系统线性化,第五节 建立数学模型的试验方法简介,第六节 框图及其化简方法,结构方框图,一、方框图的组成要素,3函数方框(环节) 函数方块具有运算功能,相邻求和点可以互换、合并、分解。 代数运算的交换律、结合律和分配律。,求和点可以有多个输入，但输出是唯一的!,脱离了物理
9、系统的模型!,系统数学模型的图解形式!,形象直观地描述系统 中各元件间的相互关 系及其功能以及信号 在系统中的传递、变 换过程。,依据信号的流向 ，将各 元件的方块连接起来组 成整 个系统的方块图。,二、方框图的画法,任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。,求和点,函数方框,引出线,函数方框,信号线,三、方框图的运算规则,1、串联运算规则,几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传 递函数的乘积。,例：隔离放大器串联的RC电路,同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递 函数之和。,并联运算规则,反馈运算规则,1、基于方框图的运算规则,四、方框图的等效变换,
10、2、基于比较点的简化,3、基于引出点的简化,4、方框图简化法求系统的传递函数,（1）观察系统中是否存在相互交错的局部反馈回路； （2）确定系统中的输入输出量把输入量到输出量 的一条线路列成方块图中的前向通道。 （3）通过比较点和引出点的移动消除交错回路； （4）先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函 数，然后求出整个系统的传递函数。,化简示例1,化简示例2,只有一条前向通道的多回路系统的闭环传递函数,（梅逊公式）,闭环系统输入量到输出量间的串联环节的总传递函数即前向通路传递函数的乘积。,n 闭环系统所具有的反馈回路的总数,i 各反馈回路的序号,闭环系统中各交错反馈或多环局部反馈的开环传递函数
11、即每个反馈回路的传递函数的乘积。,-正反馈 + 负反馈,5、公式法求系统的传递函数,梅逊公式法直接求取传递函数示例,6、代数法求系统传递函数,建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系 （输入/输出）。,对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。,按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件 的方框图连接起来，得到系统的方框图。,五、物理系统的方框图绘制方法,例：二阶RC电气网络,作 业,1、P45 28 2、P45 29,一、 信号流图及其术语 二、 信号代数运算法则 三、根据微分方程绘制信号流图 四、根据方框图绘制信号流图 五、信号流图梅逊公式,第七节 系统信号流图,信号流图起
12、源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来 描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一 种信号传递网络。,一、信号流图的组成要素及其术语,二、信号代数运算法则,三、根据微分方程绘制信号流图,四、根据方框图绘制信号流图,方块图转换为信号流图示例1,方块图转换为信号流图示例2,Pk第k条前向通路的传递函数（通路增益）,G 系统总传递函数, 流图特征式,所有不同回路的传递函数之和,每两个互不接触回路传递函数乘积之和,每三个互不接触回路传递函数乘积之和,任何m个互不接触回路传递函数乘积之和,五、 信号流图梅逊公式,一个前向通道的情况,只有一条前向通路,三个不同回路,L1、L2不接触 P1与
13、L1、L2、L3均接触,多个前向通道的情况,一、系统传递函数 仅控制量作用下 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下 二、系统误差传递函数 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下,27 控制系统传递函数,前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路,反馈通道：C(s)到B(s)的信号传递通路,系统闭环传递函数：反馈回路接通后， 输出量与输 入量的比值。,一、系统的传递函数,系统工作在开环状态， 反馈通路断开。,系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传 递函数的乘积。,(反馈信号B(s)和偏差信号 (s)之间的传递函数),系统 的开环传递数函数,假设扰动量N(s)=0,控制量R(S)作用,假设R(s)=0,扰动的影响将被抑制!,扰动量N(S)作用,控制量与扰动量同时作用,以误差信号E(s)为输出量，以控制量R(s)或拢动量R(s)为输入量的闭环传递函数。,二、系统误差传递函数,假设扰动量N(s)=0,控制量R(S)作用,假设R(s)=0,扰动量N(S)作用,控制量与扰动量同时作用,G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。,系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。,闭环传递函数的极点相同。,
