系统可靠性分析课件

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1、第三章 系统的可靠性分析,3.1不可修复系统的可靠性,3.1.1可靠性功能逻辑图 可靠性逻辑图：系统与单元功能间的逻辑关系图，建立可靠性功能逻辑框图，不能从结构上而应从功能上研究系统类型。 例：,如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统即短路。其系统逻辑框图为： 如果分析的是开路失效，当两个电容同时失效，才会引起系统失效。其逻辑框图为：,例： 如果研究的是液体“流通”：1、2都实现自己的功能“开启”，系统才能实现液体“流通”。其逻辑框图为：,如果研究的是液体“被截流”：1、2只要有一个功能正常“关闭”，系统就可实现“被截流”。其逻辑框图为： 若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则通过适

2、当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠度）、故障概率（不可靠度）、MTTF等可靠性特征量（指标）。 本章主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计算方法。 假设： 系统、单元均有两种状态正常与失效； 各单元所处的状态是相互独立的。,3.1.2串联系统,特征：n个单元全部正常工作时，系统正常工作，只要有一个单元失效，系统即失效。 设：A 系统正常工作状态 系统故障状态 Ai 单元i处于正常工作状态（i 1，2，n） 单元i处于故障状态（i 1，2，n）,则： 由上式： （Ai 之间相互独立）,上式表明，在串联系统中，系统的可靠度 Rs(t) 是元件（单元）可靠度的乘积。 1， 1，而且 ，

3、 即串联子系统的可靠度比任一单元要小。 因此，提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度效果会更好。 若各单元服从指数分布，,由此可知，串联后仍服从指数分布s ，s 。 P49页 ，串联系统特性,3.1.3并联系统,特征：任一单元正常工作，子系统即正常工作，只有所有单元均失效，系统才失效。 设：A 系统正常状态 系统故障 Ai 单元i处于正常工作状态（i 1，2，n） 单元i处于故障状态,则 （设各单元状态相互独立）,若各单元寿命均服从指数分布，i ， 当n 2时,对n个相同单元i 注意n=2时的失效率 P51页并列系统特点,3.1.4表决系统（r/n）,特征：n个单元中只要有r个单元正常工作系统

4、就能正常工作。 设：Ai 单元i处于正常工作状态（i 1，2，3） A 系统处于正常工作状态 则A ,设Ai 间相互独立，但 事件： ， ： ： ， 相容 Rs(t) P（A） P（A1A2）P（A1A3）P（A2A3） P（）P（）P（） P , P（A1A2）P（A1A3）P（A2A3） P（A1A2A3）P（A1A2A3）P（A1A2A3）P（A1A2A3） P（A1A2）P（A1A3）P（A2A3）2 P（A1A2A3） P(A1)P(A2)P(A1)P(A3)P(A2)P(A3)2P(A1)P(A2) P(A3) ,当各单元相同时： 会计算2/3系统可靠性P52 一般，对于n个相同单

5、元（R(t)）组成的r/n表决系统，由于各单元只有两个状态，因此r/n系统失效概率Rs(t)可表示为：,又r/n系统，当rn时，为n/n系统，即为串联系统 当r1时，为1/n系统，即为并联系统 各系统单元相同，且均服从指数分布时，失效率为； 讨论： r/n系统的优势,3.1.5混联系统,一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统,串并联系统,每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri ，再求得Rs,当n1n2nmn， 时，,并串联系统,每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj ，再相乘即得Rs 当m1m2mnm， 且时，,讨论并串联系统与串并联系统的可靠性关系 在同是行列时，时，并串联系统可靠度高

6、 时，串并联系统可靠度高，此时趋于并联系统 能够列出混联系统可靠性表达式,3.1.6旁联系统,一、冷储备系统（储存单元完全可靠的旁联系统）,转换开关完全可靠的冷储备系统 设T1，T2，Tn为1n个单元的寿命，随机变量，且两两相互独立 则系统寿命随机变量：Ts T1T2Tn 系统可靠度：Rs(t) P（Tst） P（T1T2Tnt） 系统平均寿命： 单元i的平均寿命,下面以两个单元组成的旁联系统为例，说明上式Rs(t)的计算方法。 设两单元：T1、T2 均服从指数分布，失效率分别为1 、2 则， Rs(t) P(Tst) fs(t): TsT1T2的概率密度函数 TsT1T2 即f1(t) 和f

7、2(t)的卷积。,对n个不同单元组成的旁联,转换开关不完全可靠的冷储备系统,系统由n个部件和一个转换开关（转换开关最多需要使用n-1次） 开关寿命0-1型，开关正常概率为p，开关故障的概率为q=1-p 系统故障的两种情况： 当正在工作的部件故障，需要使用转换开关时，转换开关故障； 转换开关使用正常，所有n个部件都故障。（这时转换开关一共进行了n-1次） 设n个部件寿命x1,x2,xn是独立的且服从同指数分布1-e-t，开关的好坏也是独立的。,引入一变量 ： =j 若第j次使用开关时，开关首次故障， j=1,2,n-1 =n 若n-1次使用开关，开关都正常（即开关在系统使用到第n个部件时也不坏）

8、 有的定义，易见 P=j=pj-1q, j=1,2,n-1 P= =n= pn-1 且,此时系统的寿命可表示为 x=x1+x2+x3+x 系统的可靠度为 以两个部件的情况为例： P( =j)=q,当j=1 p,当j=2 R(t)=qP(x1t)+pP(x1+x2t),当p=1，即转换开关完全可靠时，这里的所有结果同转换开关完全可靠的冷储备系统。,储备单元不完全可靠的旁联系统（热储备系统） 两个工作单元寿命为X1和X2相互独立，均服从指数分布；第二个单元的存储寿命为Y服从指数分布 可靠性可以分为两部分：当工作单元失效时，储备单元已经失效； 当工作单元失效时，储备单元尚未失效；,3.1.7复杂系统

9、,布尔真值表法（枚举法） N个单元组成的网络系统，各单元均有“正常”和“失效”两种状态，则系统就有2n种（微观）状态，对这2n个状态逐一分析，判断系统的状态是“正常”还是“故障”，由于各状态互斥饮。因此所有正常工作状态的概率之和就使系统的状态。 例如,系统,全概率分解法 根据全概率公式 其中是在事件Bi发生的条件下，事件发生的概率 Bi互不相容，=I (全集) 设x 某被选单元正常状态(事件) 某被选单元故障状态(事件) S系统正常状态 系统故障状态,则有：,按单元展开：可转化为： 正常（短路） 失效（断路）,全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分

10、解，将其转化为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。 可以通过网络概率图的方法,最小路集法与最小割集法 网络图：网络由节点和节点间的连线(弧或单元)连接而成，假设弧(单元)和系统只有两种可能状态正常或失效。弧(或单元)之间相互独立，同时又分为节点失效和节点不失效两大类。 路集：由节点出发经过一串弧可到达节点，这一串弧称作从到的一个路集或径集 最小径集：少一条弧就不是一条路了。,割集：存在某些弧，割断这些弧，就割断了所有从输入点到输出点的路径。这些弧的集合称为割集。 最小割集：少一条弧就割不断所有路径了。,利用矩阵法求最小路集,左乘法（如果网络起点为i，终点为j） 先写出所有弧的矩阵C，再列出C

11、阵对应输出节点标号的列，如第j列为(C)j 用C阵左乘(C)j，即C2=C(C)j 依次下去，求出Cn-1的第j列， 这些矩阵的第j列的第i个元素即为最小路集之和。 以桥式网络为例：,所有矩阵中的第二列 第一项为最小路集之和 ab, cd, aed,ced,最小路集与最小割集之间的转换 利用最小路集和最小割集求系统可靠性 只要知道最小路集和最小割集的不交和就可以了。 （1）求元素为n-1的最小路的不交和 （2）求其他路集的不交和,3.2 可修复系统的可靠性,经过修理使系统恢复至正常工作状态，如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可以借助马尔可夫过程来描述。,3.2.1马尔可夫过程的基本概念,

12、马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说，若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t t0时的状态仅与时刻t0的状态有观，用数字公式可描述为： 设x(t),t0是取值在E=0,1,2,或E=0,1,2,N上的一个随机过程。若对任意n个时刻点0t1t2tn均有:Px(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,x(tn-1)=in-1 =Px(tn)=in|x(tn-1)=in-1 i1,i2,inE 则称x(t),t0为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程。,特别地，如果对任意t,u0,均有Px(t+u)=j|

13、x(u)=i=P(x(t)=j|x(0)=i)=Pij(t) i,jE 与转移的起始时间u 无关，则称该马尔可夫过程式齐次的。Pij(t）称为从状态i到状态j的转移概率(函数)，转移函数的全体组成的矩阵称为转移矩阵。如对n个状态系统的转移矩阵为nn阶方阵，可写为：,对于齐次的马氏过程，有下述关系（性质） 0Pij1; ; nn阶方 可以证明，对系统寿命及故障后的修复时间均服从指数分布时，则系统状态变化的随机过程x(t),t0是一个齐次马尔可夫过程。,为了简化起见，假设： ，为常数（即寿命和维修时间服从指数分布）(注意：若系统的寿命或修理时间不是指数分布，而是正态，威布尔或其他分布，它仍不是有“

14、无记忆性”，因此不能用马氏过程来描述，同时这个假设也包含了修复如新的含义。） 部件和系统取正常和故障两种状态。 在相当小的t内，发生两个或两个以上部件同时进行状态转移的概率是t的高阶无穷小，此概率可以忽略不计。,状态转移图。 可修系统可靠性研究的关键是画出系统的状态转移图。如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为： e1正常； e2故障。,如机器处于e1状态的概率P11=4/5,则e1向e2转移的概率P12=1P11=1/5；反过程，如机器处于e2状态，经过一定时间的修复返回e1 状态的概率是3/5，P21=3/5（维修度M()）;则修不好仍处于e2状态的概率是P22=1P21=2/5.

15、(不维修度) 由此可写出系统的转移矩阵为:,转移矩阵Pij也表示时间ei 发生的条件下，时间ej发生的条件概率： P是这样写的:列是起始状态，有小到大；行是到达状态，由小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。,单部件可修系统 部件的故障率，修复率分别是常数、，则： t时刻系统处于工作（正常工作）状态，在tt+t之间内发生故障的条件概率为（即为P01） t时刻系统处于故障状态，在tt+t之间即t时间内修复好的条件概率为（即为P21）,上图中:,转移概率矩阵为: 令 下面研究如何求解 首先，利用全概率公式可求出： 和 的表达式,由上式展开、移项、两边除以 ，若令 取极限有： 同理可得：,通过拉普拉斯变换可得有效度 由此瞬态有效度（可用度）： 稳态有效度： 平均有效度：（0 , t）,由上述可归纳出解可修系统有效度等方法步骤如下： 画出系统的状态转移图 写出转移矩阵 令 ，求出P （也称为转移矩阵） 求状态方程系数矩阵A A=P-I I是与P同阶的单位矩阵，A又称为转移率矩阵 求解状态方程（使用拉普拉斯变换及逆变换）,3.2.2串联可修系统,1、n个相同单元组成的串联系统、一组维修人员 每个单元： 、 为常数，两种状态： 状态0：n个单元全正常，系统正常状态 状态1：任一单元故障，系统故障状态 因为任一单元故