《第四节20一阶线性微分方程课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四节20一阶线性微分方程课件（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节,一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程及其解法,*二、伯努利方程,一、一阶线性微分方程及其解法,1、一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,称为齐次方程 ;,例如，,线性非齐次方程,非线性,线性齐次方程,2、一阶线性微分方程的解法,引例 考虑一阶线性微分方程,（齐次方程） ,（非齐次方程） ,求的通解，并验证 是的通解.,解:,由分离变量得齐次方程的通解为 .,将 代入，,方程成立，,故是解.,又因为含有一个任意常数，故是通解.,这个例子告诉我们什么？,2、一阶线性微分方程的解法,引例 考虑一阶线性微分方程,（齐次方程） ,（非齐次方程） ,求的通解，并验证
2、是的通解.,？,齐次方程通解,非齐次方程的一个解,非齐次方程的通解,齐次方程的通解,(1) 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,(2) 解非齐次方程,代入得,设 是原方程的解，,即,两端积分得,齐次方程通解,非齐次方程特解,故原方程的通解,即,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,例2. 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解: 列方程 .,已知经过电阻 R 的电压降为R i,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感 L 都是常量
3、,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,解方程:,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,解的意义:,小结 求解一阶线性微分方程的方法:,1、常数变易法求解一阶线性微分方程的步骤:,(1) 将方程化为标准形式，确定 P(x) 和 Q(x)；,(2) 求对应的齐次方程的通解 ；,(3) 设原方程的通解为 ，代回原方程确定C(x)，从而确定原方程的通解.,2、公式法,例3. 解方程,解: 方法一.,若将y看作是x的函数，显然它关于y不是,线性的，但若将其改写为,则它关于x是一阶非齐次线性方程.,代入公式 ，得,例3. 解方程,解: 方法2.,令x+y=u，,代入原方程
4、，得,两端积分，得,则 y=u-x，,分离变量，得,将u=x+y代入，得,或,例4. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,解:,两边同时对 x 求导，得,利用公式可求出,令 ，,则,由 求得满足积分方程的函数为,例5. 设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解: 1) 先解定解问题,利用通解公式, 得,利用,得,故有,2) 再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3) 原问题的解为,*二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),例6. 求方程,的通解.,解: 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,
