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1、二、 函数的间断点,一、 函数的连续性,第八节 函数的连续性 与间断点,在自然界的许多现象中，,如气温的变化，,有的变化是连续不断的，,河水的流动，,这些现象在函数关系上的表现，,车辆的行程,就是函数的连续性,例如就气温的变化而言，,当时间变动很微小时,气温的变化也很微小。,这个特点就是所谓的连续性。,植物的生长等等。,也会遇到出现间断的量，股市的k线、多级火箭当第一级燃料燃尽而外壳自行脱落时火箭质量的变化等等。,连续变化的量反映到几何图象上是连续不断的曲线,那么，反映到代数上是什么情况呢？,一、函数的连续性,1.变量的增量,设变量,从它的一个初值,变到终值,终值与初值之差,就叫做变量的增量，
2、记为,即,定义1:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,如果,(1) 函数在一点连续的定义：,2. 连续的定义,函数,在点,定义2:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续的三要素:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,定义3:,当,时, 有,如果,存在且等于,函数,在点,连续的等价命题:,即,称函数,在点,左连续.,存在且等于,即,称函数,在点,右连续.,如果,(2) 左、右连续：,所以连续,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,内连续 .,( 有理整函数 ),有理分式函数,在其定
3、义域内每一点连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,(2) 函数在区间上连续的定义：,连续的区间如果是闭区间，,则函数在左端点是右连续，,在右端点是左连续。,函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续的三要素:,存在 ;,有定义 ,存在 ;,换言之：如果三个条件有一个不满足，,函数在该点就不连续,我们称之为间断的,函数的极限刚好等于函数值,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,如果函数,这样的点,f (x) 有下列三种情况之一：,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义
4、 ;,1. 定义,函数的间断点,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 ;,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 ;,为振荡间断点 .,2. 间断点的分类:,为无穷间断点,为振荡间断点,为可去间断点,例如:,为可去间断点,(5),为跳跃间断点,则补充或改变函数的定义使函数在该点连续.,例.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,例.试问,是否有间断点？,解：,是连续的，没有间断点,所以在,处,例.设,在x = 0点连续，问a 和 b,应满足什么样的关系？,解：,由题意：,得：,左连续,右连
5、续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,1.函数,在点,连续的等价命题:,内容小结,第九节 连续函数的运算与,一、连续函数的和差积商的连续性,二、反函数的连续性,初等函数的连续性,三、复合函数的连续性,四、初等函数的连续性,在其定义域内连续,一、连续函数的和差积商的连续性,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、,积、商(分母不为 0) 运算,该点连续的函数 .,运算法则,结果仍是一个在,定理2. 单调增加 且连续的函数，其反函数在,在,上单调增加且连续,(减少),在 1, 1 上也连续
6、,对应区间上也单调增加 且连续.,(减少),二. 反函数的连续性,三、复合函数的连续性,定理3.设函数,由函数,与函数,复合而成,若,函数,在,连续,则,例.求下列各极限：,定理4（复合函数的连续性）,若函数,在点,连续,且,而函数,则复合函数,在点,也连续 即,在点,设函数,由函数,与函数,复合而成,连续,例.求下列各极限：,说明:(1) 若,则有,(2) 若,则有,幂指函数,四、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,的连续区间为,的连续区间为,的定义域为,二、 零点定理与介值定理,一、 有界性与最值定理
7、,第十节 闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最值定理,1最大(小)值定义：,在区间,上有定义,若有,使得,总有,则称,是,在区间,上的最大值,设,(最小值),简称最值.,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,它的最大值和最小值.,在该区间上一定取得,2. 最值定理,例：,例如：,但当条件不满足时，结果也可能存在,当连续性或闭区间不满足时，最值不一定存在,所以：条件满足时，,条件不满足时，,结论肯定有；,结论可能有，,也可能没有,推论.,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,二、零点定理与介值定理,定理3. (介值定理),设,且,则对
8、A 与 B 之间的任一数 C ,一点,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,例1.证明方程,一个根 .,说明:,内必有方程的根,取,的中点,内必有方程的根,二分法,在区间,内至少有,则,则,在区间,由零点定理,在区间,上是连续函数,使得,内至少有一点,即,就是满足条件的原方程的根,证明：,在区间,由零点定理,在区间,上是连续函数,使得,内至少有一点,即,就是满足条件的原方程的根,证明：,例2.证明方程,在区间,内至少有一个根,例3.设,试证：,且,使得,证明：,在区间,上是连续函数,由零点定理,在区间,内至少有一点,使得,即,所以,例4. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,一刀剪为面积相等的两片.,证明：,即：,使得：,所以由零点定理：,在区间：,构造函数：,上是连续函数,在区间,内至少有一点,
