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1、1,1. 考试形式和成绩比例,闭卷考试，允许带无存储功能的计算器 平时作业和上机报告（30%）+期末成绩（70%） 考生必须携带学生证或校园卡,2. 考试题型,选择题、填空题、计算题、证明题,一、考试事宜,数值分析考试事宜,2,3. 考试时间和地点,2016-1-2（周一），上午10:00-12:00,4. 复习和答疑安排,地点：* 时间：*,一. 基本概念,二. Gauss变换与矩阵的三角分解,三. Householder变换,四.矩阵的正交分解,数值分析复习要点,五.解线性方程组Ax=b的直接法和迭代法,六. 构造正交多项式,七. 连续函数的最佳平方逼近,八. 离散数据的最小二乘曲线拟合,
2、九. 函数插值,十. 数值积分,十一. 数值微分,十二.非线性方程的数值解法,十三. 常微分方程的数值解法,十四.数值计算的基本思想,第三章极小化方法 第四章Givens变换矩阵和Jacobi算法（只考察用Householder变换对A作QR分解） 第五章利用三转角和三弯矩方程构造三次样条插值函数 第六章自适应求积法、理查逊外推法、龙贝格方法 第七章连续函数的最佳一致逼近（非线性最小二乘拟合只考察可线性化的情况） 第八章非线性方程组的迭代法 第九章龙格-库塔方法和线性多步法 Matlab指令和程序编写,不作考试要求部分:,一. 基本概念,绝对误差,相对误差,有效数字,数值稳定性等.,1、设x和
3、y的相对误差为0.001，则x*y的相对误差约为 _.,向量范数 矩阵范数,距离概念,二. Gauss变换与矩阵的三角分解,Gauss变换阵,LU分解,三. Householder变换,习题,四.矩阵的正交分解,(1) Schmidt正交化法（P40，第二章第2节）,例：用Householder方法求矩阵A的正交分解， 即A=QR，其中,(2) 用Housholder方法正交化（P142，第四章第4节）,五.解线性方程组Ax=b的直接法和迭代法,系数矩阵A为哪些矩阵时,可用顺序Gauss消元 法求解Ax=b.,何为病态矩阵,如何判别矩阵为病态矩阵.,系数矩阵A为哪些矩阵时,可用列主元Gauss
4、 消元法求解Ax=b.,举例说明数学稳定性与数值稳定性的区别. （第三章第4节）,1、直接法,2、迭代法,Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法,SOR松弛迭代法 的分量形式,迭代矩阵,收敛条件. P110-118,估计迭代次数,六. 构造正交多项式,七. 连续函数的最佳平方逼近,八. 离散数据的最小二乘曲线拟合,习题,用最小二乘法确定一条经过点(-1,0)的二次曲线， 使之拟合下列数据,九. 函数插值,基本(复化)求积公式的代数精度: 梯=1 辛=3 柯=5,十. 数值积分,利用标准高斯公式求积分. P234-236,n+1个节点的高斯型求积分公式的代数精度为2n+1.,P248
5、-4, 6, 7, 8, 9, 10, 14,向前差分 fi=fi+1-fi 称为f(x)在点xi处的一阶向前差分。 nfi=n-1fi+1- n-1 fi称为f(x)在点xi处的n阶向前差分。,向后差分 fi=fi - fi-1 称为f(x)在点xi处的一阶向后差分。 nfi=n-1fi -n-1 fi-1 称为f(x)在点xi处的n阶向后差分。,中心差分 fi=fi+1/2 - fi-1/2 称为f(x)在点xi处的一阶中心差分。 nfi= n-1 fi+1/2 - n-1 fi-1/2称为f(x)在点xi处的n阶 中心差分。,十一. 差分、差商、数值微分,f(x)为n次多项式，则nf(x
6、i )、 nf(xi)为常数， n+1f(xi ) 、 n+1f(xi)为零。,f(x)为n次多项式，则fx0 ， x1 ， ， xn 为常数， fx0 ， x1 ， ， xn ， xn+1 为零。,差商与导数的关系,差商与差分的关系,会推导截断误差,十二. 非线性方程的数值解法,考虑方程 x = (x), (x)Ca, b, 若,( I ) 当 xa, b 时， (x)a, b； ( II )对 xa, b,有 | (x) | L 1 成立。 则任取 x0a, b，由 xk+1 = (xk) 得到的序列 收敛于(x) 在a, b上的唯一不动点。,定理8-3（收敛定理）,掌握牛顿迭代格式及其变形,习题 P322- 3， 6,（1）写出解 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。,牛顿迭代格式在单根附近是平方收敛的,局部平方收敛,十四. 常微分方程的数值解法,局部截断误差:,Euler(欧拉)方法,梯形公式,改进欧拉法,P阶精度,Runge-Kutta(龙格-库塔)方法 （二阶改进的Euler和中点公式）,十五. 数值计算的基本思想,1、归纳、递推的思想 2、防止溢出的规格化思想 3、数学稳定性与数值稳定性 4、余量校正思想 5、外推思想 6、以直代曲（即以线性方程代替非线性方程） 7、迭代思想 8、化整为零,
