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1、.,2.1 变量和数据操作2.2 MATLAB矩阵2.3 MATLAB运算2.4 矩阵分析,第2章 MATLAB矩阵及其运算,.,2.1 变量和数据操作,2.1.1 变量与赋值1变量命名在MATLAB 中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。,.,2赋值语句(1) 变量=表达式 (2) 表达式其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。,.,例 计算表达式的值，并显示计算结果。在MATLAB命令窗口输入命令：x=1+2i;y=3-sqrt(17);z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi
2、/180)/(x+abs(y)其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量，分别代表代表圆周率和虚数单位。输出结果是：z = -0.3488 + 0.3286i,.,2.1.2 预定义变量,在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。例如，用pi表示圆周率的近似值，用i，j表示虚数单位。预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。,.,2.1.3 内存变量的管理1内存变量的删除与修改MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理。在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。当选中某些变量后，再单击Delete按钮，就能删除这些变量。当选中某些变量后，再单击Ope
3、n按钮，将进入变量编辑器。通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。,.,clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。 who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。 who命令只显示出驻留变量的名称 whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。,.,2.1.4 MATLAB常用数学函数sin、exp、sqrt、abs 函数使用说明：(1) 三角函数以弧度为单位计算。(2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模(3) fix(0)、floor(-Inf)、ceil(+Inf)、round (n
4、earest)，注意区别(4)注意rem与mod函数的区别,.,2.1.5 数据的输出格式MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。MATLAB内部每一个数据元素默认都是用双精度数来表示和存储的。 数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。format命令的格式为： format 格式符其中格式符决定数据的输出格式,.,2.2 MATLAB矩阵,2.2.1 矩阵的建立1直接输入法从键盘直接输入矩阵的元素。 具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。
5、,.,2利用M文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。,.,3利用冒号表达式建立一个向量 冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调用格式为：linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价,.,2.2.2 矩阵的拆分1矩阵元素通过下标引用矩阵的元素，例如：A(3,2)=200 采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。 矩阵元素按列存储，先
6、第一列，再第二列，依次类推。 例如A=1,2,3;4,5,6; A(3)ans = 2,.,2矩阵拆分 利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。,.,2.2.3 特殊矩阵1通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。ones：产生全1矩阵(壹矩阵)。eye：产生单位矩阵。rand：产生01间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。,.,例 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。(1) 建立一个33零
7、矩阵。zeros(3) (2) 建立一个32零矩阵。zeros(3,2) (3) 设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵Azeros(size(A) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵,.,例 建立随机矩阵：(1) 在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。(2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5),.,2用于专门学科的特殊矩阵魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的
8、元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。,.,例 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5),.,2.3 MATLAB运算 2.3.1算术运算1基本算术运算MATLAB的基本算术运算有：(加)、(减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。,.,(1) 矩阵加减运算假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A
9、和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。,.,(2) 矩阵乘法 假定有两个矩阵A和B，若A为mn矩阵，B为np矩阵，则C=A*B为mp矩阵。,.,(3) 矩阵除法在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则AB和B/A运算可以实现。AB等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。对于矩阵运算，一般ABB/A。,.,(4) 矩阵的乘方一个矩阵的乘方运算可以表示成Ax，要求
10、A为方阵，x为标量。2点运算在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.和.。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。,.,2.3.2 关系运算MATLAB提供了6种关系运算符：(大于)、=(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。,.,关系运算符的运算法则为： (1) 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。 (2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元
11、素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。,.,(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。,.,2.4 矩阵分析 2.4.1 对角阵与三角阵1对角阵只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。,.,(1) 提取矩阵的对角线元素设A为mn矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线
12、元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。 (2) 构造对角矩阵设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。,.,例 先建立55矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数,.,2三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全
13、为0的一种矩阵。 (1) 上三角矩阵提取矩阵A的上三角阵的函数是triu(A)。(2) 下三角矩阵提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A),.,2.4.2 矩阵的转置与旋转1矩阵的转置转置运算符是单撇号()。2矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90的k倍，当k为1时可省略。,.,3矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。4矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,.,2.4.3 矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶
14、的方阵B，使得：AB=BA=I (I为单位矩阵)则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。例2-11 用求逆矩阵的方法解线性方程组。Ax=b 其解为：x=A-1b,.,2.4.4 方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。,.,2.4.5 矩阵的秩与迹1矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。2矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。,.,2.4.6 矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有2种：(1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2) V,D=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。,
