11-多元时间序列分析

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1、第十一章多元时间序列分析,本章结构,VAR 协整 误差修正模型,学习目的：研究序列之间的关系,多元时间序列,多元时间序列,自协方差阵：,多元时间序列,Ljung-Box 检验,VAR(1) 模型,VAR(p)模型,其他还有VMA,VARMA等模型 具体见教材第8章。,单整,单整的概念 如果序列平稳，说明序列不存在单位根，这时称序列为零阶单整序列，简记为 假如一个时间序列至少需要进行d 阶差分才能实现平稳，说明原序列存在d个单位根，这时称原序列为d 阶单整序列，简记为,单整的性质,若 ，对任意非零实数a, b，有 若 ，对任意非零实数a, b，有 若 ， 独立，对任意非零实数a, b，有 若 ，

2、 独立，对任意非零实数a, b，有,经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述,长期均衡,该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。,在t-1期末，存在下述三种情形之一： Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ； Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ；,在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，即上述第一种情

3、况，则Y的相应变化量为:,vt=t-t-1,如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则t期末Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化大一些； 反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，则t期末Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳序列。如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。,协整,协整检验 一、协整概念与定义 在经济运行中，虽然一组时间序列变量都是随

4、机游走，但它们的某个线性组合却可能是平稳的，在这种情况下，我们称这两个变量是平稳的，既存在协整关系。 其基本思想是，如果两个(或两个以上)的时间序列变量是非平稳的，但它们的某种线性组合却表现出平稳性，则这些变量之间存在长期稳定关系，即协整关系。 我们将给出协整这一重要概念。 一般而言，协整是指两个或两个以上同阶单整的非平稳时间序列的组合是平稳时间序列，则这些变量之间的关系的就是协整的。,协整在金融计量中的主要应用,目前，协整模型已经成为重要的金融计量模型，在经济研究中得到普遍或广泛的应用。通过检验经济序列之间是否存在协整关系，来判断对应变量间是否存在经济意义上的“均衡”关系。在此，我们对协整模

5、型在金融计量中的应用主要总结如下几个方面： （一）金融发展和经济增长之间关系检验 （二）期货价格和现货价格之间关系的检验 （三）货币需求理论的实证检验 （四）购买力平价理论的检验,例,总统的支持率与国家的经济运行状况达到一种平衡状态。(Ostrom and Smith 1992). 具体地，如果经济运行状况良好，但是支持率不高时，一般支持率会升高； 反之，如果经济状况不好，但是支持率很高的话，一般支持率会降到平衡水平。,具体模型,In Ostrom and Smiths (1992) model: At = Xt + (At-1 - Xt-1) + t where At = approval

6、Xt = quality of life outcome,协整的概念,假定自变量序列为 ，响应变量序列为 ，如果 与 是同阶单整的。则可以构造回归模型 其中，回归残差序列 平稳，我们称响应序列 与自变量序列 之间具有协整关系。,如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。,例,对1978年2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数序列lnxt和生活消费支出对数序列lnyt进行协整关系检验。,中国农村居民家庭人均纯收入和生活消费支出序列,例 时序图,对数序列时序图,构造回归模型,模型选择 一元线性模型 估计方法 最小二乘估计 模型拟合,

7、残差序列单位根检验,我们可以以91.55%（10.0845）的把握断定残差序列平稳且具有一阶自相关性,最终拟合模型,一般的,如果序列X1t,X2t,Xkt都是d阶单整，存在向量=(1,2,k)，使得Zt=XT I(d-b)， 其中，b0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，则认为序列X1t,X2t,Xkt是(d,b)阶协整，记为XtCI(d,b)，为协整向量（cointegrated vector）。 如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。,3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。,（d,d）

8、阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。 例如，中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，如果它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。,尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典的回归分析方法建立回归模型。,从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，是非常重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。,协整检验,

9、对于协整的定义，有四个重要特征值得注意： （1）协整只涉及非平稳变量的线性组合。从理论上而言，在一组非平稳变量中，极有可能存在着非线性的长期均衡关系。 （2）协整只涉及阶数相同的单整变量。如果变量的单整阶数不同，则按照通常的学术意义，可以认为它们不存在协整关系。 （3）如果 有n个非平稳序列，则有n-1个线性独立的协整向量。协整向量的个数称为 的协整秩。显然，若 只包含两个变量，则最多只有一个独立的协整向量。（注意可能的共线性） （4）大多数协整的相关研究集中在每个变量只有一个单位根的情况，其原因在于古典回归分析或时间序列分析是建立在变量是 的条件下，而极少数的经济变量是单整阶数大于1的变量。

10、,协整检验,假设条件 原假设：多元非平稳序列之间不存在协整关系 备择假设：多元非平稳序列之间存在协整关系 检验步骤 建立响应序列与输入序列之间的回归模型 对回归残差序列进行平稳性检验,一、协整检验E-G检验二、协整检验JJ检验,协整检验,1、两变量的Engle-Granger检验,为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。 第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t 并计算非均衡误差，得到：,称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。,非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF

11、检验或者ADF检验。 需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。 而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。 于是对t平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。,MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值,例 检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生产总值GDPPC的协整关系。,已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，已知它们的回归式,R2=0.9981,对该式计算的残差序列作ADF检验，适当检验模型为：,（-4.47） (3.93) (3.0

12、5) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00,t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是平稳的。因此中国居民人均消费水平与人均GDP是(2,2)阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关系。,2、多变量协整关系的检验扩展的E-G检验,多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种平稳的线性组合。 假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系： 非均衡误差项t应是I(0)序列：,然而，如果Z与W，X与Y之间分别存在长期均衡关系： 则非均衡误差项v1t、v2t一定是平稳序列I(0)。于是它们的线性组合也可能是平稳的

13、。例如 可能是I(0)序列。,由于vt像t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt式也成为该四变量的另一平稳线性组合。 (1, -0, -1, -2, -3)是对应于t式的协整向量， (1, -0-0, -1, 1, -1)是对应于vt式的协整向量。,检验程序： 对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在平稳的线性组合。 在检验是否存在平稳的线性组合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。 如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。,当所有的变量都被

14、作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在(d,d )阶协整。 检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受到所检验的变量个数的影响。,MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。,3、高阶单整变量的Engle-Granger检验,E-G检验是针对2个及多个I(1)变量之间的协整关系检验而提出的。 在实际宏观经济研究中，经常需要检验2个或多个高阶单整变量之间的协整关系，虽然也可以用E-G两步法，但是残差单位根检验的分布同样已经发生改变。,二、协整检验JJ检验,1、 JJ检验的原理 J

15、ohansen于1988年，以及与Juselius一起于1990年提出了一种用向量自回归模型进行检验的方法，通常称为Johansen检验，或JJ检验，是一种进行多重I(1)序列协整检验的较好方法。,Johansen协整检验,Engle-Granger两步法有三个缺点，首先，数据的有限性导致有限样本在单位根和协整检验时有缺陷；第二，可能会导致联立因果偏差 。第三，该方法无使对出现在第一步的真实的协整关系进行假设检验。 Johansen方法是建立在矩阵秩和特征根之间关系的基础上的,考虑多元时间序列模型VAR,VARMA等。,没有移动平均项的向量自回归模型表示为：,将y的协整问题转变为讨论矩阵的性质

16、问题,于是, 将yt中的协整检验变成对矩阵的分析问题。这就是JJ检验的基本原理。,两种检验方法： 特征值轨迹检验 最大特征值检验,2. JJ检验的预备工作,第一步，用OLS分别估计下式中的每个方程，计算残差，得到残差矩阵S0，为一个(MT)阶矩阵。,第二步，用OLS分别估计下式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵S1，也为一个(MT)阶矩阵。,第三步，构造上述残差矩阵的积矩阵：,第四步，计算有序特征值和特征向量。,第五步，设定似然函数。,3. JJ检验之一特征值轨迹检验,服从Johansen分布。被称为特征值轨迹统计量。,嵌套检验,，一直检验下去，直到出现第一个不显著的(Mr)为止，说明存在r个协整向量。这r个协整向量就是对应于最大的r个特征值的经过正规化的特征向量。,4. JJ检验之一最大特征值检验,该统计量被称为最大特征值统计量。于是该检验被称为最大特征值检验。,由 Johansen和Juselius于1990年计