《四川省2021届高三上学期开学考试数学（理）试题含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省2021届高三上学期开学考试数学（理）试题含答案（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2020 年秋四川省棠湖中学高三开学考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1已知集合1,2,3A，3,4,5B ，则AB A 3B2,5C2,3,4D1,2,4,5 2已知复数z满足2313zi，则在复平面内z对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清 晰，用字母a代替已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为 A2020B2120C2021D2121 4已知aR，则“tan2”是“ 4
2、 sin2 5 ”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5已知实数 x，y 满足约束条件 230 230 0 xy xy xy ，则z xy A有最小值 0B有最大值C有最大值 0D无最小值 2 6设 1 0 2 a，随机变量 X 的分布列是： X-112 P 1 2 a 1 22 a 2 a 则当D X最大时的 a 的值是 A 1 4 B 3 16 C 1 5 D 3 25 7某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的 表面积（单位： 2 cm）是 A16 2 3 B16 2 6+ C18 2 3 D18 2 6 8如图，正方体 1111 ABCD
3、ABC D的棱长为 2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面 11 BBCC 的边界及其内部运动若 1 DOOP，则 11 DC P面积的最大值为 A 2 5 5 B 4 5 5 C 5 D2 5 9已知定义在R上的函数 3sin21f xxx，则在5,5上 fx的最大值与最小值之和等 于 A0B1 C2D3 10已知数列 n a的前n项和 n S满足2 nn San * nN，则 7 a 3 A 7 3 B 127 64 C 321 32 D 385 64 11已知 F 为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左焦点，过点 F 的直线与圆 2222 1 :() 2 O x
4、yab于 A，B 两点（A 在 F，B 之间），与双曲线 E 在第一象限的交点为 P，O 为坐标原点，若FABP，120AOB则双曲线的离心率为 A 13 3 B 14 3 C 132 3 D 142 3 12已知实数a、b满足 23 loglogab，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有 ba ab ； ab ab ； ba ab ； ba aa ； ab bb A1 个B2 个C3 个D4 个 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知 4 5432 12345 1xxbxa xa xa xa xa，其中 4 13a ，则b _ 14某团队派遣甲、乙、丙、丁
5、四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为 1 4 ，乙完成任务 的概率为 1 2 ，丙、丁完成任务的概率均为 2 3 ，若四人完成任务与否相互独立，则至少 2 人完成任务 的概率为_. 15过 P(1,2)的直线l把圆 22 450 xyx分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线l的方程为 _. 16在三棱锥BACD中，BA，BC，BD两两垂直，2BC ，4BD ，三棱锥BACD的 侧面积为 13，则该三棱锥外接球的表面积为_. 4 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
6、 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 5 cos 5 A （1）若5a ， 2 5c ，求b的值；（2）若 4 B ，求cos2C的值 18（12 分）某公司 A 产品生产的投入成本 x（单位：万元）与产品销售收入 y（单位：十万元） 存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近 8 次该产品的相关数据，且根据这 8 组数据计算得到 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7604ybx x（万元）6781112141721 y（十万元）1.21.51.722.22.42.62.9 （1）求b的值（结果精确到 0.0001），并估计公司 A
7、 产品投入成本 30 万元后产品的销售收入（单 位：十万元） （2）该公司 B 产品生产的投入成本 u（单位：万元）与产品销售收入 v（单位：十万元）也存在较 好的线性关系，且 v 关于 u 的线性回归方程为 0.150.5vu （i）估计该公司 B 产品投入成本 30 万元后的毛利率（毛利率100% 收入成本 收入 ）； （ii）判断该公司 A，B 两个产品都投入成本 30 万元后，哪个产品的毛利率更大 5 19（12 分）如图 1 所示，EFGH为矩形，四边形ABCD为正方形 1 ADD A与 11 BCC B为全等 的等腰梯形，其中 111 22224ABAEAADHAD，沿着AB，BC
8、，CD，DA折成如图 2 所示的几何体 1111 ABCDABC D，使 1 A， 1 B， 1 C， 1 D分别与E，F，G，H重合 （1）求证：平面 11 AAD D 平面ABCD； （2）求平面 11 BCD与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，过椭圆的焦点且垂直于x轴的直 线被椭圆截得的弦长为 2 （1）求椭圆的方程； （2） 设点,A B均在椭圆上， 点C在抛物线 2 1 2 yx上， 若ABC的重心为坐标原点O， 且ABC 的面积为 3 6 4 ，求点C的坐标 21（12 分）已知函数 2
9、1 ( ), ( )(1)ln (0) 2 f xxax g xax a （1）若点 0 (P x， 0) y为函数( )f x与( )g x图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P为切点的公共切 线，求a的值： （2）若函数( )( )( )h xf xg x有两个零点，求实数a的取值范围 6 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3 2 ( 3 2 xt t ymt 为参数，)mR以原点O为 极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
10、，曲线C的极坐标方程为 2 2 3 (0) 32cos （1）写出曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程： （2）已知 3m ，点P是曲线 2 C上一点，点P到曲线 1 C的最大距离为2 2，求m的值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知不等式2222xx的解集为M. （1）求集合M； （2）已知t为集合M中的最小正整数，若1a ，1b ，1c ，且(1)(1)(1)abct，求证： 8abc . 7 2020 年年秋四川省棠湖中学高三开学秋四川省棠湖中学高三开学考试考试 理科理科数学参考答案数学参考答案 1A2A3B4A5A6D7C8C9C10B11D 12B 13314
11、 53 72 15230 xy1629 17解：（1）在ABC中，由余弦定理 222 2cosabcbcA ， 得， 2 5 2022 525 5 bb，即 2 450bb ， 解得5b 或1b （舍)， 所以5b ； （2）由 5 cos 5 A 及0A得， 22 52 5 sin1 cos1 () 55 AA ， 所以 210 coscos()cos()(cossin) 4210 CABAAA ， 所以 22 104 cos22cos12()1 105 CC 18（1）依题意 678 11 12 14 1721 12 8 x ， 1.2 1.5 1.722.22.42.62.9 2.062
12、5 8 y ， , x y代入回归直线方程 0.7604ybx ，得 2.0625120.7604b ， 解得 0.1085b ，所以 0.1086 450.7 0yx ， 令30 x ，可得 4.0154y （单位：十万元） 8 （2） （i）由于 0.150.5vu ， 所以当30u 时， 0.15 300.55v （单位：十万元）， 故毛利率为 5030 100%40% 50 . （ii）由（1）得当30 x 时， 4.0154y （单位：十万元）， 故毛利率为 40.15430 100%28.764% 40.154 所以B产品的毛利率更大. 19（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB
13、AD，四边形 11 ABB A是矩形， 1 ABAA，又 1 ADAAA， 1 AA 平面 11 AAD D， AB 平面 11 AAD D又因为AB平面ABCD， 平面 11 AAD D 平面ABCD （2）由（1）知平面ABCD 平面 11 ADD A 过 1 A作 1 AOAD于点O， 平面ABCD 平面 11 ADD A， 平面ABD平面 11 ADD AAD， 1 AO 平面ABCD 过O作/ON AB，且交BC于点N， 9 1 OA，OD，ON两两垂直， 分别以OD，ON， 1 OA为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系如图所示： 则3,4,0C， 1 2,0, 3D， 1 0,
14、4, 3B， 1 1, 4, 3CD ， 1 3,0, 3CB ， 设平面 11 BCD的一个法向量为, ,nx y z ， 则由 1 1 0, 0, CD n CB n 得 430, 330. xyz xz 令 3z ，得 1 1, 3 2 n 又平面ABCD的一个法向量0,0,1m ， 2 51 cos, 17 m n m n m n ， 所以平面 11 BCD与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 2 51 17 10 20（1）根据题意得 2 2 2 2 2 c a b a ，又因为 222 bac ，解得 2 2a ，则 2 1b ， 所以椭圆的方程为： 2 2 1 2 x y； （
15、2）设:AB xmyt，联立椭圆方程 22 22xy，可得 222 ()2220mymtyt， 2 22222 44 228()()()20m tmtmt 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 12 2 2 2 mt yy m ， 可得 12 2 () 2 2 C mt yyy m ， 1212 2 () () 4 2 2 C t xxxm yyt m ， 由C在抛物线 2 1 2 yx上，可得 2 22 214 222 mtt mm ， 则 2 2 21 m t ( 1) 2 t ， 由sin ABO SOA OBAOB 222 1 |(| | cos) 2 OAOBOAOBAOB 2 2222 112212121221 11 22 xyxyx xy yx yx y， 则 12211221 |( 33 3)(| 22 ) ABCABO SSx yx ymyt ymyt y 22 12 2 332 223 6 222 | 4 ()| tmt t yy m ， 可得 22 2 23 24 tmt m ，将代入整理可得 2 2142130tttt ， 11 解得1t 或 3 2 ，相应的 2 2m 或 1 所以 2 1, 2 C ，或1(2,)C 21（1）由题意可知，( )yf x与( )(0)yg x x图象的在唯一公共点处的切线相同， 又因
