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1、1,第 2 章 点、直线、平面的投影, 2.1 投影法及其分类, 2.2 点的投影, 2.3 直线的投影, 2.4 平面的投影, 2.5 直线与平面及两平面的 相对位置, 本章小结,结束放映,2,平行投影法,中心投影法,2.1 投影法及其分类,投影法,投射线,物体,投影面,投影,投射线通过物体,向选定的平面进行投射,并在该面上得到图形的方法投影法。,投射中心,斜投影法,正投影法,3,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差。,投 影 特 性,物体位置改变,投影大小也改变。,4,平 行 投 影 法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
2、 度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘制。,5,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,6,结束?,继续?,7,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,2.2 点的投影,8,二、点的三面投影,投影面,正面投影面(简称正 面或V面),水平投影面(简称水 平面或H面),侧面投影面(简称侧 面或W面),投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,9,空间点A在三个投影
3、面上的投影,注意: 空间点用大写字母表示,点的投影用小写字母表示。,10,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,11,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax=,aax=,aay=,a,y,Y,Z,az,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,aaOZ轴,=y,=Aa(A到V面的距离),aaz,=x,=Aa(A到W面的距离),aay,=z,=Aa (A到H面的距离),aaz,12,例:已知点的两个投影,求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz
4、=aax,13,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法:, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X,Y,Y,Z,o,14,( ),a c,c,重影点:,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时,则称此两点为该投影面的重影点。,a,a,c,被挡住的投影加( ),A、C为H面的重影点,15,结束?,继续?,16,2.3 直线的投影,两点确定一条直线,将两点的同名投影用直线连接,就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为
5、一点 积聚性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos,17, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线(平行于面),侧平线(平行于面),水平线(平行于面),正垂线(垂直于面),侧垂线(垂直于面),铅垂线(垂直于面),一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置,18, 投影面平行线,X,Z,水平线,实长, 在其平行的那个投影 面上的投影反映实长, 并反映直线与另两投 影面倾角的实大。, 另两个投影面上的投 影平行于相应的投影 轴,其到相应投影轴 距离反映直线与它所 平行的投影
6、面之间的 距离。,投影特性:,19,判断下列直线是什么位置的直线?,侧平线,正平线,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角:,实长,实长,直线与投影面夹角的表示法:,20,反映线段实长,且垂直于相应的投影轴。, 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影,, 在其垂直的投影面上,,投影有积聚性。,投影特性:,21, 一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴,其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短,即都不反映空间线段的实长。,投影特性,22,二、直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。,点的投影将线段的同名投影分割
7、成与空间线段相同的比例。即:,AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb,定比定理,23,例1:判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,24,例2:已知点K在线段AB上,求点K正面投影。,解法一: (应用第三投影),解法二: (应用定比定理),a,b,25,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为: 平行、相交、交叉(异面)。, 两直线平行,空间两直线平行,则其各同名投影必相互平行,反之亦然。,26,例:判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线,只要有两组同名投影互相平行,空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置
8、直线,只有两组同名投影互相平行,空间直线不一定平行。,27, 两直线相交,若空间两直线相交,则其同名投影必相交,且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,28,c,d,k,k,d,例1:过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,29,例2:判断直线AB、CD的相对位置。,c,d,a,b,c,d,相交吗?,不相交!,为什么?,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法?, 应用定比定理, 利用侧面投影,30, 两直线交叉,为什么?,两直线相交吗?,不相交!,交点不符合一个点的投影规律!,31,1(
9、2),投影特性:, 同名投影可能相交,但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其 可帮助判断两直线的空间位置。,32,结束?,继续?,33,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,34,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,35, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类:,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面,倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面, 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,36
10、,c,c, 投影面垂直面,为什么?,a,b,c,a,b,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性:,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,37, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性:,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,38, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性:,39,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例:正垂面ABC与H面的夹角为45,已知其水平投影 及顶点B的正面投影,求ABC的正面投影及侧面 投影。,
11、思考:此题有几个解?,40,三、平面上的直线和点,位于平面上的直线应满足的条件:, 平面上取任意直线,若一直线过平面上的两点,则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线,则此直线在该平面内。,41,d,例1:已知平面由直线AB、AC所确定,试在 平面内任作一条直线。,解法一:,解法二:,有无数解!,42,例2:在平面ABC内作一条水平线,使其到 H面的距离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b,唯一解!,43, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线,然后再在该直线上确定点的位置。,例1:已知K点在平面ABC上,求K点的水平投影。,
12、面上取点的方法:,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,d,d,44,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例2:已知AC为正平线,补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一:,解法二:,45,d,e,例3:在ABC内取一点M,并使其到H面V面的 距离均为10mm。,46,结束?,继续?,47,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行, 直线与平面平行,48,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1:过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,d,d,49,正平线,例2:过M点作直线MN平
13、行于V面和平面ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,50, 两平面平行,若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线,则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行,则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,51,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例:判断平面ABDC与平面EFHM是否平行, 已知ABCDEFMH,52,直线与平面相交,其交点是直线与平面的共有点。,二、相交问题, 直线与平面相交,要讨论的问题:, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系,即判别可 见
14、性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,53,例:求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面,其水平投影积聚成一条直线,该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知,KN段在平面前,故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作图,用线上取点法,1(2),54,1(2),k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线,其水平投影积聚成一个点,故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上,在前;点位于MN上,在后。故k2
15、为不可见。,作图,用面上取点法,55, 两平面相交,两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题:, 求两平面的交线,方法:, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系,即: 判别可见性。,56,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d ,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面,它们的交线为一条正垂线,两平面正面投影的交点即为交线的正面投影,交线的水平投影垂直于OX轴。, 求交线, 判别可见性,作图,从正面投影上可看出,在交线左侧,平面ABC在上,其水平投影可见。,能!,如何判别?,例:求两平面的交线 MN并判别可见性。,O,