《柔性体的刚_柔耦合动力学分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《柔性体的刚_柔耦合动力学分析（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、柔性体的刚-柔耦合动力学分析 刘锦阳 洪嘉振 (上海交通大学工程力学系,上海,200030) 摘 要 对柔性梁的刚2柔耦合动力学特性进行分析.从连续介质力学理论出发,在纵向变 形位移中计及了耦合变形量,用Jourdain速度变分原理导出了柔性梁的刚2柔耦合动力学方程. 定量地研究了非惯性系下柔性梁的动力学性质,比较了在不同转速下零次近似模型和耦合模型 的振动频率的差异.为了确定零次近似模型的适用范围,引入与转速和基点加速度有关的相关 系数,提出了零次近似模型的适用判据为相关系数小于0. 1.在此基础上,进一步研究在大范围 运动是自由的情况下柔性梁的大范围运动和变形运动的耦合机理,计算了带平动刚
2、体的柔性梁 的大范围运动规律,揭示零次近似模型和耦合模型的刚-柔耦合动力学性质的根本差异. 关键词 刚2柔耦合动力学,相关系数 1 引言 传统的描述柔性多体系统动力学的混合坐标方法是一种零次近似方法.在建模过程中, 直接套用了结构动力学对弹性变形的假设,在变形位移中忽略了耦合变形量.文献1用能 量2动量矩方法,对作高速旋转的弹性梁的零次近似动力学模型和耦合模型进行了分析,发 现当弹性梁大范围运动的角速度达到和超过无大范围运动的基频时,用零次近似动力学模 型进行数值分析,得到数值解发散的错误结论.用耦合动力学模型进行分析可得到与实际一 致的结论.由此得到了零次近似动力学模型的适用范围是转动的角速
3、度小于无大范围运动 的基频.然而,对零次近似模型的适用性的研究不能局限于定性分析,应该定量地对两种模 型的仿真结果进行比较,根据仿真结果的相对误差确定零次近似模型的适用范围. 十多年来,柔性体的刚-柔耦合动力学的建模理论研究有了很大的进展,但这些研究大 多是讨论大范围运动为确定的情形下柔性体的特性.即讨论非惯性系下的结构动力学耦合 模型 26 .而在工程实际中,复杂机械系统的部分构件已普遍采用轻质柔性材料,系统的运 行速度加快,运行精度的要求越来越高,大量的问题要确定构件的大范围运动与其变形之间 的相互影响.因此,柔性体的刚-柔耦合动力学建模理论的研究应该拓展到大范围运动是自 由的情况. 本文
4、从连续介质连续理论出发,建立了较零次近似理论更精确的耦合动力学模型,在纵 向变形位移中计及了耦合变形量,用Jourdain速度变分原理导出柔性梁的刚2柔耦合动力学 方程.定量地研究了非惯性系下柔性梁的动力学性质,比较了在不同转速和基点加速度下零 次近似模型和耦合模型的振动频率的差异.考虑到零次近似模型在大范围运动为低速时有 第23卷 第2期 2002年 6月 固 体 力 学 学 报 ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA Vol. 23 No. 2 June2002 国家自然科学基金(19832040)重点资助项目. 2000212213收到第1稿,2001204223收到修
5、改稿. 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 足够精度,且计算量小,为了确定零次近似模型的适用范围,首次引入与转速和基点加速度 有关的相关系数,提出了零次近似模型的适用判据.在此基础上,进一步研究在大范围运动 是自由的情况下柔性梁的大范围运动和变形运动的耦合机理,计算了带平动刚体的柔性梁 的大范围运动规律,揭示零次近似模型和耦合模型的刚-柔耦合动力学性质的根本差异. 2 柔性梁的刚2柔耦合动力学方程 图1 作大范围运动的平面梁 作大范围运动的柔性梁如图1所示,?e 0
6、 为 惯性基;?e b 为浮动基,固结在未变形的梁上.?r0 为浮动基的基点关于惯性基的矢径,?0为未变 形时梁的非中线上任意一点k关于浮动基的矢 径,?u为其变形位移矢量,则点k关于惯性基的 矢径?r可表示为 ?r=?r0+?0+?u(1) 点k的变形位移 ?u在浮动基下的坐标阵为 6 u1=w1-y 5w2 5x - x 0 1 2 dw2 d 2 d,u2=w2(2) 其中,w1,w2为与点k对应的中线上点k0在梁的轴向和浮动基y方向的变形位移. 根据连续介质力学理论,点k处的纵向正应变为 6 = 5u1 5x + 1 2 5u1 5x 2 + 5u2 5x 2 (3) 对于细长梁,二次
7、项 5u1 5x 2 与 5u2 5x 2 相比很小,可以不计.将式(2)代入式 (3) , 点k处的纵 向正应变与纵向正应力分别为 = 5w1 5x -y 5 2 w2 5x 2, =E=E 5w1 5x -y 5 2 w2 5x 2 其中,E为杨氏弹性模量.不计剪切和扭转效应,弹性力的虚功为 l 0A ? dAdx= l 0 EA 5 ?w1 5x 5w1 5x dx+ l 0 EI 5 2 ?w2 5x 2 5 2 w2 5x 2dx (4) 其中,A、I分别为横截面的面积和惯量矩. 用一致质量有限元法对梁进行离散,将梁分成若干个单元,设Ni(i= 1 ,2)为形函数阵, p为独立的总体
8、变形位移阵,w1,w2可表示为 w1=N1p,w2=N2p 将上式代入(2)式,点k的变形位移为 u1=N1p-y 5N2 5?x p- 1 2 p T Hp,u2=N2p 其中,耦合形函数阵为 H= ?x 0 5N T 2 5?x 5N2 5?x d?x+ j- 1 i= 1 li 0 5N T 2 5?x 5N2 5?x d?x 061 固体力学学报 2002年 第23卷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 设A为浮动基关于惯性基的方向余弦阵,矢径 ?r在惯性基
9、下的坐标阵为 r=r0+=r0+A (5) 其中 A= cos- sin sincos , =0+u, 0= x y u= N1p-y 5N2 5?x p- 1 2 p T Hp N2p 将式(5)对时间t求导,令 ?I= 0- 1 10 ,点k的速度为 v=?r0+?A +A?u=?r0+? ? IA +A?u(6) 将式(6)对时间t求导,点k的加速度为 a=r0+? ? IA +Au-A? 2 + 2? ? IA?u(7) 将式(5)和(6)代入式 (4) , 弹性力的虚功为 l 0A ? dAdx= ? p T Kfp(8) 其中,弹性刚度阵Kf为 Kf= n j= 1 lj 0 EA
10、 5N T 1 5?x 5N1 5?x +EI 5 2 N T 2 5?x 2 5 2 N2 5?x 2 d?x(9) 3 非惯性系下柔性梁的动力学分析 在大范围运动为已知的情况下,设 ?=,=?,点k的速度变分为 v=A ?u(10) 根据Jourdain速度变分原理 7 ,柔性梁的动力学变分方程为 V vT (- a+f ) d V- V ? dV= 0(11) 将式(6)式(10)代入方程式(11) ,非惯性系下柔性梁的结构动力学方程为 ? p(Mp+G?p+Kp-F) = 0 即 Mp+G?p+Kp=F(12) 式中 M=W11+W22+?W22,G= 2(W21-W12 ) , K=
11、kf+K0+K1 F= 2 Z T 11-? (ZT 12+?Y T 2 ) - a01Y T 1-a02Y T 2 其中a01,a02 为浮动基的基点的加速度r0在浮动基下的分量,此外 Wmk= V N T mNkdV(m,k= 1 ,2) ,?W22= V y 25N T 2 5?x 5N2 5?x dV K0= - 2 (W11+W22+?W22 ) + ?(W21-W12) 161第2期 刘锦阳等: 柔性体的刚-柔耦合动力学分析 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserv
12、ed. K1= 2 D-a01C,C= V HdV,D= V xHdV Yk= V NkdV(k= 1 ,2) ,?Y2= V y 25N2 5?x dV,Z1k= V xNkdV(k= 1 ,2) 下面以文献3讨论的对象为例.固定在旋转刚体上的悬臂梁如图2所示,中心刚体的 半径为R,角速度的时变规律为 = t T - 2sin 2t T ,0 T 基点的加速度在浮动基下的分量为a1= - 2 R,a2=?R.系统的物理参数:铝梁的长度l = 8 m ,截面积A=7. 310 - 5 m 2 ,惯量矩I= 8. 21810 - 9 m 4 ,密度= 2. 7666710 3 kgm 3 , 弹
13、性模量E= 6. 89510 10 Nm 2 ,中心刚体的半径R= 0 ,加速时间T为15 s ,为4 rads.对 梁取10个单元,积分步长为0. 001 s ,分别用本文耦合模型和零次近似模型计算出梁端点在 浮动基y方向的变形位移u2如图3所示. 图2 固定在旋转刚体上的悬臂梁 图3 梁端点的y方向变形位移(= 4 rad s) 从图中可以看出,当时 = 4 rads时,零次近似模型的数值结果为发散.文献3采用了 几何非线性模型,在势能中考虑了与应变二次项有关的非线性项,使数值结果收敛,修正零 次近似模型的错误的结论.由于文献3的几何非线性模型在计算过程中每一步都需要对刚 度阵进行迭代,计
14、算时间为1373. 5 s ,而利用本文的模型,计算时间为40 s ,计算效率较高. 设 i(i= 1 ,nm)为无大范围运动时梁的第 i阶固有振动频率,T时,刚度阵和力阵可简化为 K=Kf- 2 (W11+W22+?W22 ) + 2 (D+RC ) , F= 2 (ZT 11+RY T 1) 对于零次近似模型,刚度阵为 K=Kf- 2 (W11+W22+?W22) 设p=p0+p1,其中p0为F作用下的相对浮动基的静变形,p1为在相对平衡位置附近的微 幅振动位移,p0满足Kp0=F.得到梁的振动方程为 Mp1+G?p1+Kp1= 0 在状态空间中x= ?p1p1 T ,上式可改写为 261
15、 固体力学学报 2002年 第23卷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ?M?x+?Kx= 0 其中 ?M= M0 0K ,?K= GK -K0 令x=?xe t ,其特征值方程为 ( ? M+?K)?x= 0 文献8证明,当 ?M为正定阵时,特征值为纯虚根或0.设 i(i= 1 ,nm)为tT 时梁的第i阶振动频率,则有i= ii,i=1 ,nm.定义无量纲变量为 = , i=i (i= 1 ,nm ) , i=i (i= 1 ,nm) =Rl, =A(EI)l
16、 2 为了确定零次近似模型的适用范围,引入与转速和基点加速度有关的相关系数为 c= T 1K11 T 1K1 其中,K为耦合模型的刚度阵,T时,相关系数为 c= 2 T 1D1-a1 T 1C1 2 1- 2 + 2 T 1D1-a1 T 1C1 = 2 T 1(D+RC)1 2 1- 2 + 2 T 1(D+RC)1 = 1. 1933 2 + 1. 5709 2 12. 3623 + 0. 1933 2 + 1. 5709 2 取 = 0. 5 ,表1给出了两种模型的基频的相对误差与相关系数的关系. 表1 相关系数的影响(=0.5) 0.60410.79971.01251.20831.81242.41653.0206 c0.05680.09750.15180.20950.41730.63920.8479 基频相对误差2.88 %5.00 %7.89 %11.07
