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1、1,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,第五节 微分学在几何上的应用,2,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,3,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,4,解,切线方程,法平面方程,得切点（0，1，2）,5,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,可化为参数方程,6,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,7,8,所求切线方程为,法平面方程为,9,10,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,二、曲面的切平面与法线,11,在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在
2、点 M 处的切线都在同一平面上.,命题:,事实上, 因,两边对 t 求导,12,表明这些切线都在以,的同一平面上 ，,从而切平面存在 .,13,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,14,解,令,切平面方程,法线方程,15,特殊地：空间曲面方程为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,16,其中,则法向量的方向余弦为,17,解,切平面方程为,法线方程为,18,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,19,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),20,使曲面 与球面,例7. 确定正数,在,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 则有,又点 M 在球面上,于是有,相切.,21,
