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1、2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之一1（北京市）25我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）（2）答：与相等的角是（或）四边形是等对边四边形（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形证法一：如图
2、1，作于点，作交延长线于点图1因为，为公共边，所以所以因为，所以可证所以所以四边形是等边四边形证法二：如图2，以为顶点作，交于点图2因为，为公共边，所以所以，所以因为，所以所以所以所以所以四边形是等边四边形说明：当时，仍成立只有此证法，只给1分2（上海市）25.已知：，点在射线上，（如图10）为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上；（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点在射线上，圆为的内切圆当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离图10备用图（1）证明：如
3、图4，连结，是等边三角形的外心，圆心角当不垂直于时，作，垂足分别为由，且，点在的平分线上当时，即，点在的平分线上综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上图4图5（2）解：如图5，平分，且，由（1）知，定义域为：（3）解：如图6，当与圆相切时，；如图7，当与圆相切时，；如图8，当与圆相切时，图6图7图83（天津市）26. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，。（1）试证明；（2）证明；（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即 是该方程的两个实数根 ，而 （2） 于是，即 （3）当时，有 ， 又 ， 于
4、是 由于， ，即 当时，有4(重庆市) 28已知，在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线（0）的顶点坐标为，对称轴公式为解: （1）过点C作CH轴，垂足为H 在R
5、tOAB中，OAB900，BOA300，AB2 OB4，OA 由折叠知，COB300，OCOA COH600，OH，CH3 C点坐标为（，3） （2）抛物线（0）经过C（，3）、A（，0）两点 解得： 此抛物线的解析式为： （3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C MP轴，设垂足为N，PN，因为BOA300，所以ON P（，） 作PQCD，垂足为Q，MECD，垂足为E把代入得： M（，），E（，） 同理：Q（，），D（，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CEQD 即，解得：，（舍） P点坐标为（，） 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）5(河北省)2
6、6. 如图16，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC，交折线段CD-DA-AB于点E点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取
7、值范围）DEKPQCBA图16（4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由解：（1）t=（507550）5=35（秒）时，点P到达终点CFGDEKPQCBA图9HQKCHDEPBA图8此时，QC=353=105，BQ的长为135105=30（2）如图8，若PQDC，又ADBC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50755t=3t，解得t=经检验，当t=时，有PQDC（3）当点E在CD上运动时，如图9分别过点A、D作AFBC于点F，DHBC于点H，则四边形ADHF为矩形，且ABFDCH，从而FH= AD=75，于是BF=C
8、H=30DH=AF=40又QC=3t，从而QE=QCtanC=3t=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE=QEQC=6t2；当点E在DA上运动时，如图8过点D作DHBC于点H，由知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE=(EDQC)DH =120 t600（4）PQE能成为直角三角形当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=35（注：（4）问中没有答出t或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：当点P在BA（包括点A）上，即0t10时，如图9过点P作PGBC于点G ，则PG=PBsi
9、nB=4t，又有QE=4t= PG，易得四边形PGQE为矩形，此时PQE总能成为直角三角形当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10t25时，如图8图10DEKPQCBAC(P)DF(Q)BA(E)图11由QKBC和ADBC可知，此时，PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t503t3075，解得t当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25t35时，如图10由ED25330=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故EPQ不会是直角由PEQDEQ，可知PEQ一定是锐角对于PQE，PQECQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，PQE=90，PQE为直角三角
10、形综上所述，当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=356(河北省郴州市) 27如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积（1） S与相等吗？请说明理由（2）设AEx，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形 图11图10解: （1）相等
11、 理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，所以所以 即： （2）AB3，BC4，AC5，设AEx，则EC5x，所以，即 配方得：，所以当时， S有最大值3 （3）当AEAB3或AEBE或AE3.6时，是等腰三角形.7(山西省) 26关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由参考资料：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线解：（1）据题意得：，当时，当时，又抛物线与轴的交点在轴上方，抛物线的解析式为：函数的草图如图所示（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令，得不时，43211234（第26题）当时，关于的函数关系是：当时，；当时，（3）解法一：当时，令，得解得（舍），或将代入，得当时，令，得解得（舍），或将代入，得综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形
