《高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题10 数学思想 第43练 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题10 数学思想 第43练 含答案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第43练函数与方程思想思想方法解读1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(
2、2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.体验高考1.(2015湖南)已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_.答案(，0)(1，)解析函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点.若aa时，f(x)x2，函数先单
3、调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点.若0a1，则a3a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点.若a1，则a3a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点.综上，a1.2.(2015安徽)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号).a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.答案解析令f(x)x3axb，f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)单调
4、递增，必有一个实根，正确；当a0时，由于选项当中a3，只考虑a3这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要有一根，f(x)极大0，b2，正确，错误.所有正确条件为.3.(2016课标全国甲)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)等于()A.0 B.m C.2m D.4m答案B解析方法一特殊函数法，根据f(x)2f(x)可设函数f(x)x1，由y，解得两个点的坐标为此时m2，所以(xiyi)m，故选B.方法二由题设得(f(
5、x)f(x)1，点(x，f(x)与点(x，f(x)关于点(0，1)对称，则yf(x)的图象关于点(0，1)对称.又y1，x0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对，且关于点(0，1)对称.则(xi，yi)ii02m，故选B.高考必会题型题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1(2016天津)已知函数f(x)(a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A. B. C. D.答案C解析由yloga(x1)1在0，)上递减，得0a2，即a时，由x2(4a3)x3a2x(其中x0
6、)，得x2(4a2)x3a20(其中xf(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为()A.(，0) B.(0，) C.(，2) D.(2，)答案B解析构造函数g(x)，则g(x).由题意得g(x)0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减.又g(0)1，所以1，即g(x)0，所以不等式的解集为(0，).故选B.点评不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.变式训练2已
7、知f(x)log2x，x2，16，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2mx42m4x恒成立的实数x的取值范围为()A.(，2B.2，)C.(，22，)D.(，2)(2，)答案D解析x2，16，f(x)log2x1，4，即m1，4.不等式x2mx42m4x恒成立，即为m(x2)(x2)20恒成立，设g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在1，4上恒大于0，所以即解得x2.题型三函数与方程思想在数列中的应用例3已知数列an是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a41成等比数列，设bn(其中Sn是数列an的前n项和)，若对任意nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值.解因为a1
8、2，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.因为Snn(n1)，bn.令f(x)2x (x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.点评数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步
9、：分析数列式子的结构特征.第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.变式训练3设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)SnnSn1(nN*).若1，则()A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7答案D解析由条件得，即，所以anan1，所以等差数列an为递增数列.又1，所以a80，a70，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选
10、D.题型四函数与方程思想在解析几何中的应用例4椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为1 (ab0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21，即y22x21.(2)当直线l的斜率不存在时，也满足3，此时m.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm (k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m
11、22)0，(*)x1x2，x1x2.因为3，所以x13x2，所以则3(x1x2)24x1x20，即3240，整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)2m220，当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20，解得1m或m0或0中，即可求出目标参数的取值范围.第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节.变式训练4已知点F1(c，0)，F2(c，0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，点P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_.答案解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20
