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1、2 2 等积转移 例 3 如图 5 ， 扇形 O A B， 点 C、 E分别在 O A、 O B、 和弧 A B上， 且 四边形 O E D C为菱形 ， 过点 作 OC的平行线交 C D的延长线于点 F， 求图中阴影部分面积 分析 如图 6中所示 ， 两阴影部分不能重合 ， 但连接 O D， 可得扇形 O A D和扇形 O B D是重合的， 并且 AOC D AO D E， 从而可以证明两 阴影部分面积是相等 的， 这样所 求部分面积就可拼成如图 7所示 的平行 四边形 E BF D， 从 而求得 图 5 图 6 图 7 3巧妙转化 有些题 目所求阴影部分虽然也是分散的 ， 但无法直接 利用
2、和差计算 ， 也无法进行拼图转移 ， 这时应考虑图形本 身所具有特殊性质和规律 ， 依据其性质或规律解题 例4 如图8， 已知直角三角形A B C的斜边A B=3， 以 直角三角形三边为斜边向外做等腰直角三角形， 求图中阴 影部分面积 分析 本题都为直角三角形 ， 所以应考虑勾股定理 解 设 A F =m， C E =n ， A D =P ， A C ：b ， B C =a ， A B 2 =c ， 在 R t AA C F中， S A A 阳 = ， 由勾股定理可得， 2 m ： b 2 因 此 等： 等 ， 同 理 等= 等 ，P2 = ； 所 以 阴 影 部 分 面 积 之 和 为 ：等
3、 + 等 + 鲁= = 2 62 = 孚 = 号 4 直接计算 有些 图形中阴影部分面积， 无法应用上面的方法进行 代换或转换 ， 只能利用计算办法直接求得 C E ， ) C 邑 图 8 图 9 例 5 如图9， 在矩形A B C D中， A B=4， B C=8 ， 沿E F 对折 ， 使顶点 C与点 重合 ， 连接 G D， 求阴影部分面积 提 示 由 R t AA B F R t AA E G， 可得 A E =A F， 设 B F ： ，由对折可得 A F=F C， 则 A F=8一 ， 在 R t AA B F中， 由勾股定理可求得 =3 ， D E =8一 A E =8一 A F
4、 =3 ， 在 11 R t AA EG中 ， 可根 据 面积 不 变求 得斜 边上 的高为 ， 因此 阴影部分面积为 J 作者简介： 赵宝传， 男， 1 9 6 5年生， 山东青岛人 ， 中学一级 教师， 副校长主要研究课堂有效教学以及高效课堂教学模 式， 参与了山东省“ 十一五”重点课题 学生自主性评价研究 和 中小学信息技术教育行动研 究的课题研 究过 程 ， 并全 面 主持了山东省十一五重点课题 在信息技术教学环境中的教 学策略的研究并已成功结题 处理二倍 角问题 的一种 常用 方法 江苏省 南京市金陵汇文学校 2 1 0 0 3 6 许国泰 引例 如 图 1 ， _ D A C是 A
5、A B C的一个 外角 ， 且 D A C=2_ B 求证 ： AA B C是等腰三角形 证 明： 因为 _D A C= + C， Z _ D A C=2_B， 所 以 B = C， 即 AA BC是等腰三角形 。 图 1 图 2 联想 对涉及一个 角是另一个角的二倍 的一类 问 题 ， 我们能否利用上面这一个基本图形 ， 以二倍角的外角 为顶角构造一个等腰三角形呢? 例 1 如图 2 ， 在 AA B C中， C =2 _B， 求证 A B 2 AC 证 明 延长BC至 ， 使 C E=A C， 连结 A E， 则 E= C A E， B C A =2 E 又 因为 _BC A = 2 B，
6、 所 以 B = E= 1C A E， 所以 A B =A E 因为 A E A C+C E = 2 A C， 所以 A B 2 AC 例 2 如 图 3 ，A D 是 AA BC 的 角 平 分 线， C = 2B， 求 证A B=A C+C D 证明 延 长 B C至 ， 使 口 D C C E ：A C， 连结 A E， 同例 1 可证 得 _B ： _E ： _C A E， A B ： 图 3 A E 又 因为 B A D = C A D， 所 以 A _ A D E = B-4 - B A D ： C A E+C A D = D A E 所 以 A E =D E =C E+C D =
7、 A C +C D， 即 A B =A C-4 - C D 51 例 3 如图 4 ， 在 AA B C 中 ， C =2 B， M 是 B C的 中 点 ， A D上B C于 D 求证 ： D M = c 曰 证明 延长 B C至 E， 使 图4 C E =A C ， 连结 A E ， 同例 1 可证得 A B =A E 因为 A D_ L B C 于 D， 所 以 B D =D E 又 B DDC= ( B M +D M)一( C M D M )=2 D M， 所以D M=( B D C D )：( D E C D ) = C E： c 例4如图5 ， 在 Z X A B C中， A、 _
8、B、 C的对边分别 为 0 b C C=2 求证： c 一b =a b 证明 延长 B C至E， 使 C E=A C， 连结A E， 同例 1 可 证得 B = C A E， A B = E 又因为 E = E， 所以 AE A CAE B A ， 所以 , 丽E A= E B ，所 以 E A ：EC B， 又因 为 A B =A E， C E =A C， 所 以 A B =A C ( A C+B C) ， 所 以 c 2 ：b ( 8+6 ) ， 甚 口C 2一b =a b 例 5 若三角形的三边长为连续整数 ， 且最长边所对 的角是最短边所对的角的 2倍 ， 求这个三角形的周长 解 如图
9、 5 ， 在 Z X A B C中， A、 _B、 C的对边分别 为 o 、 b 、 c ， C=2 B 同例 4可以得出 C 一b =a b 设 b=n ， 贝 4 n=n+1 ， c= +2 所以( n+2 ) 一 = ( R+1 ) 解得 n=一1 ( 舍去)或 n：4， 这时 ， 口+b+ c ： 4 + 5 + 6 = 1 5 答 ： 这个三角形的周长为 1 5 C C 图 5 图 6 例 6 如 图 6 ， 在AA B C 中 ， B A C = 9 0 。 ， B = 2 C， A D平分 B A C 若 A B =1 ， 求 B D的长 解 延长 A B至 E， 使 B E =
10、B D， 连结 D E， 则 E= Z ： B D E， _ A B C =2 E 因为 _A BC=2 C， 所以 E = C， 又 因 为 E A D = C A D， A 1 )=A D， 所 以 AA DE A DC， 所 以 A E =A C 因为 B A C=9 0 。 ， B=2 C， 所以 C=3 0 。 因为 A B =1 ， 所以B C=2， AC= 3 所以B D =B E=A EA B ：AC AB ： 一 1 作者简介： 许国泰， 男， 1 9 6 9 年生， 江苏扬州人， 中学高级 教师， 硕士 主要研究中学数学课堂教学及中考命题与评价， 在 省级 以上刊物发表论文
11、 多篇 探究与分点有关的两个正方形面积 的比值 河南省商丘市谢集一 中4 7 6 0 3 2 魏祥勤 在正方形的四边上分别取一些点 ， 使得这些点按相同 的排列方式到四个顶点的距离相等， 按照相同的方式依次 与原正方形的顶点连起来， 构造的四边形是正方形， 本文运 用三角形的相似进行论述 ， 并且探究与分点有关的两个正 方形面积的比值问题 ， 供参考 ： 例 1 如图t ， 点E、 F、 G、 H分 别是 正方形 A B C D 的四边 的中 点 ， 连接 线 段 E B、 F C、 G D、 H A， 得 到交点 P、 p、 R、 S ，判 断 四 边形 e q R s的形 状 ， 如 果正
12、 方形 A B C D 的边长是 1 ， 计 算四边形 P Q R S的 面积 解析 根 据 题 意 ， 正 方 形 A B C D的 四边相 等， 四个 内角都是 图 1 直角， 且点 E、 F、 G、 H分别是正方形 A B C D的四边的中点 ， 可以得出 四个 三角形是全等 的三 角形 ， 即是 ： AA B E Z X BC F x C D G Z X D A H， 由于正方 形是中 心对称图形 ， 其对称 中心是 对角线的交点 ， 因此 四个三角 形 可以看做是由 AA B E绕着对角线交点依次逆时针旋转 9 O 。 52 得到的三角形， 由于旋转角是9 0 。 ， 因此B E、
13、C F夹角等于旋 转角9 0 。 ， 同理 C F、 DG， D G、 A H， A H、 B E的夹角也等于旋转 角 9 0 。 ， 因此四边形 P Q R S的四个内角都是9 0 。 ， 所以四边形 P p 5 是矩形， 在 z A P E与 X B Q F中， AA B E AD A H， 所 以 _E A P = F S Q， A P = Z _ BQ F=9 0 。 ， A E =B F， 因此 A P E B 0 ， 同理 可 证 ： B 衄 e， C 兄 G D S H， D S H A P E， 因此得 出 ： A P = p =C R =DS ， E P =F Q =G R =H S， 又因 为 8 E =C F ：DG：A H， B E E P B Q =C FVOC R， 所 以 P Q =Q R， 所 以矩形 P Q R S 是正方形 根据上 面 的分析，由于 E A P = 船 Q， A P E = 1 _ B A E = 9 0 。 ， 所以 A A P Ev 、 B A E ， A =1 ， A E= ， 计算 得出 ： B E = ： ， 所 以 Z X A P K E的面 积 的 比 值 是 ： ( ) = 1 ， E 的 面 积 是 吉 1 ： 1 ，所以 AA P E、 AB Q F、 AC R G、 AD S H的面积都是： 1
