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1、学 海 无 涯 / 5 1 【函数的奇偶性函数的奇偶性】专题复习】专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：定义说明：对于函数)(xf的定义域内任意一个x： )()(xfxf= )(xf是偶函数； )()(xfxf=)(xf奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的函数为奇（偶）函数的必要不充分条件必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； 可逆性：)()(xfxf=)(xf是偶函数；)()(xfxf=)(xf是奇函数； 等价性：)()(
2、xfxf=0)()(=xfxf；)()(xfxf=0)()(=+xfxf 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称； 可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(xf是否与)(xf、)(xf 相等，判断步骤如下： 定义域是否关于原点对称；数量关系)()(xfxf=哪个成立； 例例 1 1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）xxxf2)( 3 += （2） 24 32)(xxxf+= (3） 1 )( 23 = x xx
3、 xf （4） 2 )(xxf= 2 , 1x （5）xxxf+=22)( （6） 2|2| 1 )( 2 + = x x xf； （7） 22 11)(xxxf+= （8） 2 2 1 ( )lglgf xx x =+； （9） x x xxf + = 1 1 )1 ()( 例例 2 2：判断函数 = )0( )0( )( 2 2 x x x x xf的奇偶性。 第二种方法：第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集） ： 35721 24682 2 (). 1 (0);() sin ; tan (). (0);() cos ;() ;log;(
4、0,0) (0) 0() 1 k k x a x xxxxkZ k kx xx xx x xxxxkZ axc bxf x xyC C axkxb kb yxa a y y + + += = + =+ = = 常见的奇函数：耐克函数 常见的偶函数： 为常数 常见的非奇非偶函数: 定义域关于原点对称 常见的既奇又偶函数： 22 1(1)xxx += 两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的四、关于函数的奇偶性的 6 个个结论结论。 两个奇函数的代数和是奇函数；两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；奇函数与偶函数的和既
5、不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数；两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。奇函数与偶函数的积是奇函数。 学 海 无 涯 / 5 2 结论结论 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 结论结论 2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。 结论结论 3 )(xf是任意函数，是任意函数，定义域关于原点对称定义域关于原点对称，那么，那么)( xf是偶函数。是偶函数。
6、 结论结论 4 函数函数)()(xfxf+是偶函数，函数是偶函数，函数)()(xfxf是奇函数。是奇函数。 结论结论 5 已知函数已知函数)(xf是奇函数，且是奇函数，且)0(f有定义，则有定义，则0)0(=f。 结论结论 6 已知已知)(xf是奇函数或偶函数，方程是奇函数或偶函数，方程0)(=xf有实根，那么方程有实根，那么方程0)(=xf的所有实根之和为零；的所有实根之和为零； 若若)(xf是定义在实数集上的奇函数，则方程是定义在实数集上的奇函数，则方程0)(=xf有奇数个实根。有奇数个实根。 五、关于函数按奇偶性的分类五、关于函数按奇偶性的分类：全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函
7、数、既是奇函数也是偶 函数、非奇非偶函数。 六、关于奇偶函数的图像特征六、关于奇偶函数的图像特征 例例 1：偶函数)(xfy =在y轴右则时的图像如图（一），则y轴右侧的函数图像如图（二）。 七、关于函数奇偶七、关于函数奇偶性的简单应用性的简单应用 1、利用奇偶性求函数值 例例 1：（1）已知8)( 35 +=bxaxxxf且10)2(=f，求)2(f的值 （2）已知 53 ( )531f xxxx=+ 1 1 (, ) 2 2 x 的最大值M,最小值为m,求Mm+的值 2、利用奇偶性比较大小、利用奇偶性比较大小 例例 2： （1）已知偶函数)(xf在()0 ,上为减函数，比较)5(f，) 1
8、 (f，) 3(f的大小。 （2）已知函数( )yf x=是R上的偶函数，且( )f x在)0,+上是减函数，若( )()2f af，求a的取值范围. （3）定义域为R的函数( )xf在()+, 8上为减函数，且函数()8+=xfy为偶函数，则 A. ( )( )76ff B. ( )( )96ff C. ( )( )97ff D. ( )( )107ff 3.利用奇偶性求解析式利用奇偶性求解析式 例例 3： （1）已知)(xf为偶函数，时当时当01,1)(,10=xxxfx，求)(xf解析式？ （2）已知( )f x为奇函数，当0 x 时, 2 ( )2f xxx=+，当0 x 时，求)(x
9、f解析式？ 4、利用奇偶性讨论函数的单调性、利用奇偶性讨论函数的单调性 例例 4：若3)3()2()( 2 +=xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间？ 5、利用奇偶性判断函数的奇偶性、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例例 5：已知)0()( 23 +=acxbxaxxf是偶函数，判断cxbxaxxg+= 23 )(的奇偶性。 6、利用奇偶性求参数的值利用奇偶性求参数的值 2 -1 1 1 -2 X Y 图（二） 0 1 2 1 X Y 图（一） 学 海 无 涯 / 5 3 x 0 y 1 x 0 y 1 x 0 y 1 x 0 y 1 例例 6： （1）定义R上的偶函数)(xf在)0
10、,(单调递减,若) 123() 12( 22 +aafaaf恒成立，求a的范围. （2）定义R上单调递减的奇函数( )f x满足对任意tR，若 22 (2 )(2)0f ttftk+恒成立,求k的范围. （3）已知( )f x在定义域()0,+上为增函数，且满足()( )( )( ),31f xyf xf yf=+=，求不等式 ( )()82f xf x+解. 7、利用图像解题、利用图像解题 例例 7： （1）设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若当 x0,5时,f(x)的图象如右图,则不等 式( )0 xf的解是 . （2） 若函数( )f x在(,0)(0,)+上为奇函数， 且在(0,)
11、+上单调递增,( 2)0f =,则不等式( )0 xf x 的 解集为_. 8.利用定义解题利用定义解题 例例 8：已知 1 ( ) 21 x f xa= + 为奇函数，则a =_。 已知 2 1 ( ) (32)() x f x xxa + = + 为偶函数，则a = _。 9.利用利用性质选图像性质选图像 例例 9： （1）设1a ，实数, x y满足 1 |log0 a x y =，则y关于x的函数的图像形状大致是 A B C D （2）函数 xx xx ee y ee + = 的图象大致为 （A） （B） （C） （D） 【奇偶性专题】【奇偶性专题】训练训练 1、判断下列函数的奇偶性
12、（1）)0( 1 =x x y； （2）1 4 += xy； （3） x y2=； （4） ；)1(log 2 2 +=xxy （5） ；xexf x +=)1ln()( 2 （6） ； + = )0()1 ( )0()1 ( )( xxx xxx xf 【变题】已知( )f x对一切实数, x y都有()( )( )f xyf xf y+=+，则( )f x的奇偶性如何？ 2、 （1）如果定义在区间5 ,3a上的函数)(xf为奇函数，则a=_ （2）若axf xx lg22)( =为奇函数，则实数=a_ （3）若函数)(xf是定义在 R 上的奇函数，且当), 0( +x时，)1 ()( 3
13、xxxf+=， 那么当)0 ,(x时，)(xf=_ （4）已知函数)(xfy =在 R 是奇函数，且当0 x时，xxxf2)( 2 =， 则0 x时，)(xf的解析式为_ 学 海 无 涯 / 5 4 （5）定义在) 1 , 1(上的奇函数 1 )( 2 + + = nxx mx xf，则常数=m_,=n_ （6）函数cbxaxy+= 2 是偶函数的充要条件是_ （7）已知5)( 357 +=dxcxbxaxxf，其中dcba,为常数， 若7)7(=f，则=)7(f_ 3、若)(xf)(Rx是奇函数，则下列各点中，在曲线)(xfy =上的点是 A. )(,(afa B. )sin(,sin(f
14、C. ) 1 (lg,lg( a fa D. )(,(afa 4、设)(xf是),(+上的奇函数，)()2(xfxf=+，当10 x时，xxf=)(，则)5 .47(f等于 A. 0.5 B. 5 . 0 C. 1.5 D. 5 . 1 4、若函数)(xf是定义在 R 上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF+=的图象关于 A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对 6、函数)0)() 12 2 1 ()( +=xxfxF x 是偶函数，且)(xf不恒等于零，则)(xf A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数 7、
15、下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是 A. ( )sinf xx= B. ( )1f xx=+ C. () 1 ( ) 2 xx f xaa=+ D. 2 ( )ln 2 x f x x = + 8、已知函数= + =)(.)(. 1 1 lg)(afbaf x x xf则若 Ab Bb C b 1 D b 1 9、设)(xf是定义在实数集 R 上的函数，且满足)() 1()2(xfxfxf+=+， 如果 2 3 lg) 1 (=f，15lg)2(=f，求)2001(f 10、设)(xf是定义在R上的奇函数，且)()2(xfxf=+，又当11x时， 3 )(xxf=， （1）证明：直线1=x是函数)(xf图象的一条对称轴： （2）当
