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1、等腰三角形三线合一专题训练 姓名 例 1：如图，四边形ABCD中， ABDC，BE 、CE分别平分 ABC、 BCD，且点 E在 AD 上。 求证： BC=AB+DC 。 变 1：如图， ABCD，A90 ，AB2， BC3，CD1，E是 AD 边中点。求证：CE BE 。 变 2：如图，四边形ABCD中， ADBC，E是 CD上一点，且AE、BE分别平分 BAD、 ABC. （1）求证： AEBE；（2）求证： E是 CD的中点；（3）求证： AD+BC=AB. BC E AD 变 3：ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ,AB=AC. 若 D 为 BC的中点， 过 D 作 DMDN 分
2、别交 AB、 AC 于 M、N，求证：（1）DMDN。 若 DMDN 分别和 BA、 AC延长线交于M、N。问 DM 和 DN 有何数量关系。 (1)已知：如图，AB=AC，E为 AB 上一点， F是 AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF交 BC于点 D 求证： DE=DF D BC F A E M N DCB A M N D C B A (2)已知：如图， AB=AC ，E为 AB上一点， F是 AC延长线上一点，且，EF交 BC于点 D，且 D 为 EF的中 点求证： BE=CF D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在 ABC中，AB=AC ，P 为底边
3、 BC上的一点， PDAB 于 D，PE AC于 E，?CF AB于 F，那么 PD+PE与 CF相等吗 变 1：若 P点在直线 BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与 CF的关系又怎样，请你作 图，证明。 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或 22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例 1在 ABC中， AB=AC ，1= 1 2 ABC，2= 1 2 ACB，BD 与 CE相交于点 O，如图， BOC的大 小与 A 的大小有什么关系 若 1= 1 3 ABC， 2= 1 3 ACB，则 BOC与 A 大小关系如何 若 1= 1
4、n ABC， 2= 1 n ACB，则 BOC与 A 大小关系如何 会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例 2如图，等腰三角形ABC中， AB=AC ，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15 和 6 两部 分，求这个三角形的腰长及底边长 利用等腰三角形的性质证线段相等 例 3如图， P是等边三角形ABC内的一点，连结PA 、PB、PC ，?以 BP为边作 PBQ=60，且 BQ=BP ， 连结 CQ （1）观察并猜想AP与 CQ之间的大小关系，并证明你的结论 （ 2）若 PA ：PB ： PC=3 ：4：5，连结 PQ，试判断 PQC的形状，并说明理由 例 1、等腰三角形底边长为5c
5、m，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分， 则腰长为 （） A、2cm B、8cm C、2cm 或 8cm D、不能确定 例 2、已知 AD 为 ABC的高， AB=AC ， ABC周长为 20cm， ADC的周长为14cm，求 AD 的长。 例 3、如图，已知BC=3， ABC和 ACB的平分线相交于点O，OE AB，OFAC，求 OEF 的周长。 例 4、如图，已知等边ABC中， D 为 AC上中点，延长BC到 E，使 CE=CD ，连接 DE，试说明DB=DE 。 A BC A BC D E A BFC O E 例 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（
6、） A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形 例 6、 （1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为。 （2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为； （3）若直角三角形三边为1，2，c，则 c= 。 例 7、下列说法：若在ABC中 a2+b2c2，则 ABC 不是直角三角形； 若 ABC是直角三角形，C=900，则 a 2+b2=c2； 若在 ABC中， a2+b2=c2，则 C=90 0； 若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。 例 8、正三角形ABC所在平面内有一点
7、P，使得 PAB 、 PBC 、 PCA都是等腰三角形，则这样的P点 有（） （A） 1 个（ B）4 个（ C）7 个（ D）10 个 例 9. 四边形 ABCD中， AB=BC， ABC=CDA=90， BEAD 于点 E ，且四边形ABCD的面积为8，则 BE =（） A2 B3 C2 2D2 3 例 10. 已知 ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=32，CP=2，则 ABC 的边长为（ ） （ A）52（B）72（C）4 （D）24 三巩固练习 1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。 2、在 ABC中， AB=AC ， B=400，则 A= 。 3、
8、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为 。 4、有一个内角为40的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140呢 P C B A 5、如图，在RtABC中， C105 o，直线 BD 交 AC于 D， 把直角三角形沿着直线BD翻折，点C 恰好落在斜边AB 上， 如果 ABD 是等腰三角形，那么A 等于（） (A)40 o (B) 30o (C)25o (D )15o 6、若 ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则 ABC的形状为（） （A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形 7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（） 。 A
9、、有一腰和一角对应相等B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等D、有两角对应相等 8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（） A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半 9、在等腰三角形ABC中， A 与 B 度数之比为52，则 A 的度数是（） A、100B、75C、150D、75或 100 10、如图， P、Q 是 ABC边 BC上的两点，且QCAPAQBP PQ，则 BAC（） A、 1250B、1300C、90 0 D、1200 11、如图， ABC中， ABAC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（）个。 A、4 个B、6 个C、3 个D、5 个 12、如图， ABA
10、C，AE EC ， ACE 280，则 B的度数是（ ） A、60 0 B、700 C、760 D、45 0 13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框 AC上（端点A、C除外），设甲虫 P到 另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为 h， 则 d 与 h 的大小关系是（） 【解题方法指导】 例 1. 已知，如图，AB ACCD，求证： B2 D A B C D E CB A ED CB A Q PCB A 10 题图11 题图 12 题图 D C BA 例 2. 已知，如图，ABC是等边三角形，AD D A B C （2005 年 苏州） 如图，等腰三角形ABC的顶角为120，腰长为1
11、0，则底边上的高AD_。 A B C D 例 2. 已知，如图，ABC中， C90， AB 的垂直平分线交AB于 E，交 AC 于 D，AD8， A 30，求 CD的长。 C D A B E 例 3. 已知，如图，ABC是等边三角形，E是 AB上一点， D 是 AC上一点，且AECD，又 BD 与 CE 交于点 F，试求 BFE的度数。 A E D F B C 【综合测试】 1. 已知，如图， ABAC， ABD ACD，求证： DBDC A B C D 2. 已知，如图， D、 E是 BC上两点， ABAC，ADAE，求证： BDCE A B D E C 3. 已知，如图，ABC 中， DE
12、 A D E B C 已知，如图，ABC中， ABAC，D 是 AB 上一 点， E是 AC延长线上一点，DE交 BC于 F，又 BDCE ，求证： DFEF A D B C E F 5. 已知，如图， D 是 BC上一点， ABC 、 BDE都是等边三角形，求证：ADCE A B D C E 6. 已知，如图，ABC中， B90， AC的垂直平分线交AC于 D，交 BC于 E，又 C15， EC 10，求 AB 的长。 A D B C E 例 6、如图 11，在 ABC中，A 90 ，ABAC，D 为 BC边中点， E、F分别在 AB、 AC 上，且 DEDF，求证： AE AF 是一个定值
13、 . 证明：连接AD， ABAC，D 为 BC中点， ADBC， BAC 90 ，ABAC， B C45 ， BAD45 ， CAD45 ， ADBDCD， EDF 90 ， EDA ADF90 ， 又由 ADBC得 BDE ADE90 ， BDE ADF ， 在 BDE和 ADF中， B DAF ， BDAD， BDE ADF， BDE ADF， BEAF， AE AFAEBE AB（定值） . 思考：四边形AEDF的面积是否也是定值呢为什么 例 4、如图 9，已知 AD 为 ABC的高， E为 AC上一点， BE 交 AD 于 F，且有 BFAC，FDCD，你认为BE与 AC之间 有怎样的
14、位置关系你能证明它吗 证明：线段BE AC，理由如下： ADBC， ADB ADC90 ， FBD BFD90 ， 在 RtBDF和 RtADC中， BF AC，FDCD， RtBDF Rt ADC， BFD C， FBD C 90 ， BEC 180 （ FBD C） 180 90 90 ，即 BE AC. 例 5、如图 10，在 ABC中， ACB 90 ，ACBC，M 是 AB上一 点，求证： 222 2AMBMCM. 证明：过C作 CDAB 于点 D， 图10 C DA B M 图 11 F A DB C E 图 5 DB C A O ACB 90 ，ACBC，CD AB， A B45
15、 ， ACD BCD 45 ， A ACD， B BCD ， ADBD，BDCD，即 ADBDCD， CDAB， 222 DMCDCM， 2222222 ()()2()2AMBMADDMBDDMDMCDCM. 思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题. 例 1、如图 5，在 ABC中， ABAC，点 O 在 ABC内， OB OC，求证： AOBC. 证明：延长AO 交 BC于点 D， ABAC，OBOC，OAOA， ABO ACO， BAO CAO，即 BAD CAD， ADBC，即 AOBC. 例 2、如图 6，在等边 ABC中， D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AEBD， 求证：
16、CE DE. 证明：过E作 EF CD于点 F， ABC是等边三角形，B60 ， BEF 30 ， BE2BF，即 BAAEBCBD2BCCD2（BCCF ） ， CD2CF ， CFDF， 在 CEF和 DEF中， CFDF， CFE DFE 90 ，EF EF ， CEF DEF ， CE DE. 例 3、如图 7，已知在 ABC中， ABAC， P为底边 BC上任意一点， PDAB 于点 D，PE AC 于点 E， 求证： PDPE是一个定值 . 解：连接AP，过点 C 作 CFAB于点 F， 由 1 2 ABC SAB CF， 1 2 PAB SAB PD， 11 22 PAC SAC PEAB PE， ABCPABPAC SSS， 图6 E F A BDC 图7 F E D BC A P 图9 E A F BCD 得： 111 222 AB CFAB PDAB PE， 即，PDPECF（定值） . 说明：本例
