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1、等边三角形的判定与性质难题 一、选择题（共1 小题） 1 （2006 曲靖）如图， CD 是 RtABC斜边 AB上的高，将 BCD沿 CD折叠， B 点恰好落在AB 的中点 E处，则 A 等于（） A25B 30C45D60 二、填空题（共1 小题）（除非特别说明，请填准确值） 2一个六边形的六个内角都是120 度，连续四边的长为1， 3，4，2，则该六边形的周长是_ 三、解答题（共6 小题）（选答题，不自动判卷） 3如图， P是等边 ABC内部一点， PC=3 ，PA=4，PB=5 求 AC 2 4如图（ 1） ，ABC是等边三角形，DE 是中位线， F 是线段 BC延长线上一点，且CF=
2、AE ，连接 BE ，EF （1）求证： BE=EF ； （2）若将 DE从中位线的位置向上平移，使点D， E分别在线段AB，AC上（点 E与点 A 不重合），其他条件不变， 如图（ 2） ，则（ 1）题中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由 5 （2008 朝阳区二模）已知：在等边ABC中，点 D、E、F 分别为边 AB、BC、AC的中点，点G 为直线 BC上一动 点，当点 G 在 CB延长线上时，有结论“ 在直线 EF上存在一点H，使得 DGH是等边三角形” 成立（如图 ） ，且当 点 G 与点 B、E、C重合时，该结论也一定成立 问题：当点G 在直线 BC 的其它位置时，该
3、结论是否仍然成立请你在下面的备用图中，画出相应图形并证 明相关结论 6如图， P是等边三角形ABC内的一点，连接PA 、PB、PC，以 BP为边作等边三角形BPM，连接 CM （1）观察并猜想AP与 CM 之间的大小关系，并说明你的结论； （2）若 PA=PB=PC ，则 PMC是_三角形； （3）若 PA ：PB ：PC=1：，试判断 PMC 的形状，并说明理由 7（2006 徐州）如图 1，ABC为等边三角形， 面积为 S D1、 E1、F1分别是 ABC三边上的点， 且 AD1=BE1=CF1=AB， 连接 D1E1、E1F1、F1D1，可得 D1E1F1是等边三角形，此时 AD1F1的
4、面积 S1= S，D1E1F1的面积 S1= S （1）当 D2、E2、F2分别是等边 ABC三边上的点，且 AD2=BE2=CF2= AB 时如图 2， 求证： D2E2F2是等边三角形； 若用 S表示 AD2F2的面积 S2，则 S2=_；若用 S表示 D2E2F2的面积 S2，则 S2= _ （2）按照上述思路探索下去，并填空： 当 Dn、En、Fn分别是等边 ABC三边上的点， ADn=BEn=CF n=AB时， （n 为正整数） DnEnFn是_三 角形； 若用 S表示 ADnFn的面积 Sn，则 Sn= _；若用 S表示 DnEnFn的面积 Sn ，则 Sn=_ 8 （2009 莆
5、田）已知：等边 ABC的边长为a 探究（ 1） ：如图 1，过等边 ABC的顶点 A、B、C 依次作 AB、BC、CA的垂线围成 MNG，求证： MNG 是等边三 角形且 MN=a； 探究（ 2） ：在等边 ABC内取一点O，过点 O 分别作 ODAB、OEBC、OFCA，垂足分别为点D、E 、 F 如图 2，若点 O 是ABC的重心， 我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）： 结论 1 OD+OE+OF=a；结论 2 AD+BE+CF= a； 如图 3，若点 O 是等边 ABC内任意一点，则上述结论1，2 是否仍然成立如果成立，请给予证明；如果不成立， 请说明理
6、由 【考点训练】等边三角形的判定与性质-1 参考答案与试题解析 一、选择题（共1 小题） 1 （2006 曲靖）如图， CD 是 RtABC斜边 AB上的高，将 BCD沿 CD折叠， B 点恰好落在AB 的中点 E处，则 A 等于（） A25B 30C45D60 考点 ： 等边三角形的判定与性质 分析：先根据图形折叠的性质得出BC=CE ，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE ，进而 可判断出 BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论 解答：解： ABC沿 CD折叠 B 与 E重合， 则 BC=CE ， E为 AB中点， ABC是
7、直角三角形， CE=BE=AE ， BEC是等边三角形 B=60 ， A=30 ， 故选： B 点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力 二、填空题（共1 小题）（除非特别说明，请填准确值） 2一个六边形的六个内角都是120 度，连续四边的长为1， 3，4，2，则该六边形的周长是17 考点 ： 等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角 专题 ： 计算题 分析：先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可 解答：解：如图所示， 六个内角都是120 ， 三角形的每个内角都是60 ，即 CDE ，BFG ，AHI， ABC都为等边三角形， C
8、E=2 ，BF=3， BC=2+4+3=9 ， AH=ABGH BG=913=5， DI=AC AI CD=952=2，HI=AH=5， 该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5=17 故答案为17 点评：主要考查了正多边形的相关性质边相等，角相等 三、解答题（共6 小题）（选答题，不自动判卷） 3如图， P是等边 ABC内部一点， PC=3 ，PA=4，PB=5 求 AC 2 考点 ： 等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理 分析：首先将 BCP绕点 C 顺时针旋转60 得ACQ，连接 PQ再过 A 作 CP的延长线的垂线AD，垂足为 D，易证 得 PCQ是等边三角形， APQ是直角三角形
9、， 则可求得 APC的度数，然后可求得 APD的度数，在 Rt APD 中，即可求得AD 与 CD的长，继而求得AC 2 解答：解：将 BCP绕点 C 顺时针旋转60 得ACQ，连接 PQ再过 A 作 CP的延长线的垂线AD，垂足为D， AQ=PB=5 ，CQ=PC ， PCQ=60 ， PCQ是等边三角形， PQ=PC=3 ，QPC=60 ， 在 PAQ中， PA=4，AQ=5， PQ=3， AQ2=PA 2+PQ2， APQ=90 ， APC= APQ+QPC=150 ， APD=30 ， 在 RtAPD中， AD= PA=2，PD=AP?cos30 =2， 则 CD=PC+PD=3+2，
10、 在 RtACD中， AC 2=AD2+CD2=4+（3+2 ） 2=25+12 点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质此题难度较大，注意掌 握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 4如图（ 1） ，ABC是等边三角形，DE 是中位线， F 是线段 BC延长线上一点，且CF=AE ，连接 BE ，EF （1）求证： BE=EF ； （2）若将 DE从中位线的位置向上平移，使点D， E分别在线段AB，AC上（点 E与点 A 不重合），其他条件不变， 如图（ 2） ，则（ 1）题中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由 考点 ： 等边三角形的判定与
11、性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理 分析：（ 1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论； （ 2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明 解答：（ 1）证明： ABC是等边三角形， ABC= ACB=60 ， AB=BC=CA ， DE是中位线， E是 AC的中点， BE平分 ABC， AE=EC ， EBC= ABC=30 AE=CF ， CE=CF ， CEF= F CEF+ F=ACB=60 ， F=30 ， EBC= F BE=EF ； （ 2）结论任然成立 DE是由中位线平移所得， DEBC， ADE= ABC=60 ， AE
12、D=ACB=60 ADE是等边三角形 DE=AD=AE ， AB=AC ， BD=CE ， AE=CF ， DE=DF ， BDE=180 ADE=120 ， FCE=180 ACB=120 ， FCE= EDB， BDEECF ， BE=EF 点评：此题考查等边三角形以及三角形全等的判定与性质等知识点 5 （2008?朝阳区二模）已知：在等边ABC中，点 D、E、F分别为边AB、BC、AC 的中点，点G 为直线 BC上一动 点，当点 G 在 CB延长线上时，有结论“ 在直线 EF上存在一点H，使得 DGH是等边三角形” 成立（如图 ） ，且当 点 G 与点 B、E、C重合时，该结论也一定成立
13、 问题：当点G 在直线 BC 的其它位置时，该结论是否仍然成立请你在下面的备用图中，画出相应图形并证 明相关结论 考点 ： 等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 专题 ： 证明题 分析：连接 DE、EF 、DF （1）当点 G 在线段 BE上时，如图 ，在 EF上截取 EH使 EH=BG 由 D、E、F是等边 ABC 三边中点，可得 DEF 、 DBE也是等边三角形且DE= AB=BD，可证明 DBGDEH，然后即可证明； （ 2）当点 G 在射线 EC上时，如图 ，在 EF上截取 EH 使 EH=BG 由 （1） 可证 DBGDEH 可得 DG=DH， BDG= EDH由 BDE=
14、 BDG EDG=60 ，可得 GDH=EDH EDG=60 ，即可证明 （ 3）当点 G 在 BC延长线上时，如图 ，与（ 2）同理可证，结论成立 解答：证明：连接DE、EF 、DF （ 1）当点 G 在线段 BE上时，如图 ， 在 EF上截取 EH 使 EH=BG D、E、F 是等边 ABC三边中点， DEF 、DBE也是等边三角形且DE= AB=BD 在 DBG和DEH中， DBGDEH（SAS ） ， DG=DH BDG= EDH BDE= GDE+BDG=60 ， GDH= GDE+ EDH=60 在直线 EF上存在点H 使得 DGH是等边三角形 （ 2）当点 G 在射线 EC上时，
15、如图 ， 在 EF上截取 EH 使 EH=BG 由（ 1）可证 DBGDEH DG=DH，BDG=EDH BDE= BDG EDG=60 ， GDH= EDHEDG=60 在直线 EF上存在点H 使得 DGH是等边三角形 （ 3）当点 G 在 BC延长线上时，如图 ，与（ 2）同理可证，结论成立 综上所述，点G 在直线 BC上的任意位置时，该结论成立 点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进 行解题 6如图， P是等边三角形ABC内的一点，连接PA 、PB、PC，以 BP为边作等边三角形BPM，连接 CM （1）观察并猜想AP与 CM
16、之间的大小关系，并说明你的结论； （2）若 PA=PB=PC ，则 PMC是等边三角形； （3）若 PA ：PB ：PC=1：，试判断 PMC 的形状，并说明理由 考点 ： 等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理 专题 ： 探究型 分析：（ 1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和 BMC 全等来实现，这两个三角形中已知的条件有： AB=BC ，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现 ABP和 MBC都是 60 PBC ，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件因此可得两三角形全等，也就证明 了 AP=CM； （ 2）根据（ 1）的结论AP=CM，又有三角形BPM 是等边三角形，因此PA=PB=PC
