《小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析[汇编]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析[汇编]（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库 page 1 of 11 板块一三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大( 小) ，三角形面积也就越大( 小) ； 如果三角形的高不变，底越大( 小) ，三角形面积也就越大( 小) ； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是， 当三角形的 底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3 倍，底变为原来 的 1 3 ，则三角形面积与原来的一样这就是说： 一个三角形的面积变化与否取决于它
2、的高和 底的乘积， 而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情 况下，可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 12 :SSa b s2s1 b a D C BA 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACDBCD SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的
3、一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比 板块二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图( 或D在BA的延长线上，E在AC 上) ， 则:(): () ABCADE SSABACADAE 例题精讲 4-3-2. 三角形等高模型与鸟头模型 4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库 page 2 of 11 E D CB A D E CB A 图图 【例 1】如 图 在 ABC 中
4、，,D E 分 别 是,AB AC 上 的 点 ， 且 :2:5AD AB ， :4:7AE AC，16 ADE S平方厘米，求ABC的面积 E D C B A E D CB A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 连接BE，:2:5(24) :(54) ADEABE SSADAB ， :4 :7(45) :(75) ABEABC SSAE AC ， 所 以:(24) :(75) ADEABC SS ， 设 8 ADE S 份，则35 ABC S 份，16 ADE S 平方厘米，所以1份是2平方厘米， 35份就是70 平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到
5、一个重要的定理，共角定理：共角 三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】 70 【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的 5 倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形ADE的 面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ E D CB A A BC D E 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 连接BE 3ECAE 3 ABCABE SS VV 又5ABAD 515 ADEABEABC SSS VVV ，1515 ABCADE SS VV 【答案】 15 【巩固】如图， 三角形ABC被分成了甲 ( 阴影部分 ) 、 乙两部分，4BDDC，3B
6、E，6AE， 乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库 page 3 of 11 乙 甲 E D CB AA BC D E 甲 乙 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 连接AD 3BE，6AE 3ABBE，3 ABDBDESS VV 又 4BDDC ， 2 ABCABD SS VV ，6 ABCBDE SS VV ，5SS 乙甲 【答案】 5 【例 2】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5: 2AB AD， :3: 2AE EC，12 ADE S平方厘米，求ABC的面积 E D CB A E D CB A 【考点
7、】三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 连接BE，:2:5(23):(53) ADEABE SSADAB :3: (32)(35): (32)5 ABEABC SSAEAC ， 所以:(32) : 5(32)6:25 ADEABC SS ，设6 ADE S份，则25 ABC S份，12 ADE S 平方厘米， 所以 1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米 由 此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 【答案】 50 【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，2AFC
8、F，三角形AFE( 图 中阴影部分 ) 的面积为8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？ E F D C BA 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 连接FB三角形AFB面积是三角形CFB面积的 2 倍，而三角形AFB面积是三角形 AEF面积的 2 倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的 3 倍；又因为平行四边 形的面积是三角形ABC面积的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的 326（）倍因此，平行四边形的面积为8648( 平方厘米 ) 【答案】 48 【例 4】已知DEF的面积为7平方厘米，,2,3BECE ADBD CFAF ，求ABC的
9、4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库 page 4 of 11 面积 F E D C B A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答 【解析】:() :()(1 1):(23)1: 6 BDEABC SSBDBEBABC ， :() :()(1 3): (24)3:8 CEFABC SSCECFCBCA :() :()(21): (34)1: 6 ADFABCSSADAFABAC 设24 ABC S份，则4 BDE S份，4 ADF S份，9 CEF S份，244497 DEF S份， 恰好是7平方厘米，所以24 ABC S平方厘米 【答案】 24 【例 5】如图 16-
10、4，已知 AE=1 5 AC ，CD=1 4 BC ， BF= 1 6 AB ，那么 DEF ABC 三角形的面积 三角形的面积 等 于多少 ? 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9 题 【解析】 如下图，连接AD ，BE，CF. 有 ABE ， ABC的高相等，面积比为底的比，则有 ABE ABC S S V V = AE AC ，所以 ABE SV= AE AC ABC SV= 1 5 ABC SV 同理有 AEF SV= AF AB ABE SV, 即= AEF SV= 1 5 5 6 ABC SV= 1 6 ABC SV. 类似的还可
11、以得到 CDE SV= 1 4 4 5 ABC SV= 1 5 ABC SV， BDF SV= 1 6 1 3 ABC SV= 1 8 ABC SV 所以有 DEF SV= ABC SV-( AEF SV+ CDE SV+ BDF SV)=(1- 1 6 - 1 5 - 1 8 ) ABC SV= 61 120 ABC SV 4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库 page 5 of 11 即 DEF ABC 三角形的面积 三角形的面积 为 61 120 【答案】 61 120 【例 6】如图，三角形 ABC的面积为 3 平方厘米，其中 :2:5AB BE ， :3: 2BC CD ，
12、三角形BDE的面积是多少？ A B E C D D C E B A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 由于180ABCDBE ，所以可以用共角定理，设2AB份，3BC份，则 5BE份， 325BD份，由共角定理:() :()(23): (55)6: 25 ABCBDE SSABBCBEBD ， 设6 ABC S 份，恰好是 3平方厘米，所以 1份是0.5平方厘米， 25份就是25 0.512.5平方 厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米 【答案】 12.5 【例 7】如图所示，正方形ABCD边长为 6 厘米， 1 3 AEAC ， 1 3 CFBC 三角形D
13、EF 的面积为 _平方厘米 F E D C B A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛 【解析】 由题意知 1 3 AEAC 、 1 3 CFBC ，可得 2 3 CEAC 根据”共角定理”可得， :() :()12 : (33)2: 9 CEFABC SSCFCECBAC ； 而66218 ABC S； 所 以 4 CEF S；同理得，:2:3 CDEACD SS ; ，183212 CDE S，6 CDF S 故412610 DEFCEFDECDFC SSSS ( 平方厘米 ) 【答案】 10 【例 8】如图，已知三角形ABC面积为 1，延
14、长AB至D，使BDAB；延长BC至E， 使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积 F E D C B AA B C D E F 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答 4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库 page 6 of 11 【解析】( 法1) 本题是性质的反复使用 连接 AE、CD 1 1 ABC DBC S S V V ，1 ABC SV， S1 DBCV 同理可得其它，最后三角形DEF的面积18 ( 法2) 用共角定理在ABCV和CFEV中，ACB与FCE互补， 1 11 428 ABC FCE SAC BC SFC CE V V 又1
15、ABC SV，所以8 FCE SV 同理可得6 ADF SV，3 BDE S V 所以186318 DEFABCFCEADFBDE SSSSS VVVVV 【答案】 18 【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2 倍，得到一个新四边形EFGH 如果 ABCD的 面积是 5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米? 【考点】三角形的鸟头模型【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ， 有VEAD 、VADB同高，所以面积比为底的比，有2 EADABDABD EA SSS AB VVV 同理36 EAHEADEADABD AH SSSS AD VV
16、VV 类似的，还可得V6 FCGBCD SS VV ，有 66 EAHFCGABDBCDABCD SSSSS VVVV =30 平方厘米 连接 AC ，AF，HC ，还可得6 EFBABC SS VV ，6 DHGACD SS VV ， 有66 EFBDHGABCACDABCD SSSSS VVVV =30 平方厘米 . 有 四 边 形EFGH 的 面 积 为VEAH,VFCG,VEFB,VDHG,ABCD的 面 积 和 ， 即 为 30+30+5=65( 平方厘米 .) 方法二 ：连接 BD ，有VEAH 、 ABD中 EAD+ BAD=180 4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库 page 7 of 11 又夹成两角的边EA 、 AH ，AB 、AD的乘积比， EAAH ABAD =23=6，所以 EAH SV=6 ABD SV 类似的， 还可得 FCG SV=6 BCD SV， 有 EAH SV+ FCG SV=6 （ ABD SV+ BC
