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1、绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 P ABP AP B 如果事件A，B相互独立，那么 P ABP A P B 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那 么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的 概率 10,1,2, n k kk nn P kC ppkn 台体的体积公式 1122 1 3 VSS SSh 其中 1 S， 2 S分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表 示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表 示锥体的高 球的表面积公式
2、 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 |14xPx ，23Qx ，则PQI（） A. |12xx B. |23xx C. |34xx D. |14xx 2.已知aR，若12 iaa(i为虚数单位)是实数，则a （） A.1B.1C.2D.2 3.若实数x，y满足约束条件 310 30 xy xy ，则2zxy的取值范围是（） A.(,4B.4,) C.5,)D.( ,) 4.函数cossinyxxx(,)
3、区间,的图象大致为（） ABCD 5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位： 3 cm）是（） A. 7 3 B.14 3 C.3D.6 6.已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两 两相交”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.已知等差数列 n a的前n项和 n S， 公差0d ， 1 1 a d 记 12 bS， 1222 nnn SS ，n N， 下列等式不可能成立的是（） A. 426 2aaaB. 426 2bbb C. 2 428 aa aD. 2 42 8
4、bb b 8.已知点0,0O，2 0A,，2 0B，设点P满足2PAPB ，且P为函数 2 3 4yx图 像上的点，则OP （） A. 22 2 B. 4 10 5 C.7D.10 9.已知a，bR且0ab ，若 20 xaxbxab在0 x上恒成立，则 （） A.0aB.0aC.0bD.0b 10.设集合S，T， * S N， * T N，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： 对于任意x，yS，若xy，都有xyT 对于任意x，yT，若xy，则 y S x ； 下列命题正确的是（） A.若S有 4 个元素，则STU有 7 个元素 B.若S有 4 个元素，则STU有 6 个元素 C.若S有 3
5、 个元素，则STU有 4 个元素 D.若S有 3 个元素，则STU有 5 个元素 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分.多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分. 11.我国古代数学家杨辉， 朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题， 如数列 (1) 2 n n 就是二 阶等差数列，数列 (1) 2 n n (N )n 的前 3 项和是_ 12.设 2345 12345 5 6 12xaa xa xa xa xa x， 则 5 a _； 123 aaa_ 13.已知tan2，则cos2_； tan() 4 _ 14.已知圆锥的侧面积（单位： 2 cm）为2
6、，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的 底面半径（单位：cm）是_ 15.设直线:(0)l ykxb k，圆 22 1: 1Cxy， 22 2:( 4)1Cxy，若直线l与 1 C， 2 C都 相切，则k _；b _ 16.盒子里有 4 个球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球，从盒中随机取球，每次取 1 个，不 放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则(0)P_； ( )E_ 17.设 1 e u r ， 2 e ur 为单位向量，满足 12 |22|ee u rur ， 12 aee ru rur ， 12 3bee ru rur ，设a r ，b r 的夹角为，
7、 则 2 cos的最小值为_ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 sin30bAa （I）求角B的大小； （II）求coscoscosABC的取值范围 19.如图，三棱台ABCDEF中，面ACFD面ABC，45ACBACD，2DCBC. （I）证明：EFDB； （II）求DF与面DBC所成角的正弦值 20.已知数列 n a， n b， n c中， 111 1abc， 11 2 ,() n nnnnn n b caa ccn b * N （）若数列 n b为等比数列，且公比0q，且
8、 123 6bbb，求q与 n a的通项公式； （）若数列 n b为等差数列，且公差0d，证明： * 12 1 1() n cccnN d L 21.如图，已知椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy，抛物线 2 2: 20Cypx p，点A是椭圆 1 C与抛物线 2 C的 交点，过点A的直线l交椭圆 1 C于点B，交抛物线 2 C于M（B，M不同于A） （）若 1 16 p ，求抛物线 2 C的焦点坐标； （）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值 22.已知12a ，函数 exf xxa，其中2.71828eL为自然对数的底数 （）证明：函数 yf x在0 ，上有唯一零点；
9、（）记 0 x为函数 yf x在0 ,上的零点，证明： （i） 0 12(1)axa ； （ii） 0 0 ee 11 x x faa 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学答案解析 一、选择题 1.【答案】B 【解析】1,42,32,3PQ 故选：B 【考点】交集概念 【考查能力】基本分析求解 2.【答案】C 【解析】因为12 iaa为实数，所以20a，2a 故选：C 【考点】复数概念 【考查能力】基本分析求解 3.【答案】B 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即： 11 22 yxz ， 其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大， z
10、取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值， 联立直线方程： 310 30 xy xy ，可得点 A 的坐标为：2,1A， 据此可知目标函数的最小值为： min 22 14z 且目标函数没有最大值. 故目标函数的取值范围是4,. 故选：B. 4.【答案】A 【解析】因为 cossinf xxxx，则 cossinfxxxxf x ， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项 CD 错误； 且x 时，cossin0y ，据此可知选项 B 错误. 故选：A. 5.【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何
11、体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为 1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为 2， 所以几何体的体积为： 11117 2 112 122 32233 . 故选：A 【考点】根据三视图计算几何体的体积 6.【答案】B 【解析】依题意m，n，l是空间不过同一点的三条直线， 当m，n，l在同一平面时，可能mnl ，故不能得出m，n，l两两相交. 当m，n，l两两相交时，设mnA，mlB，nlC，根据公理2可知m，n确定一 个平面，而,BmCn，根据公理1可知，直线BC即l，所以m，n，l在 同一平面. 综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n
12、，l两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【考点】充分，必要条件的判断 7.【答案】D 【解析】对于 A，因为数列 n a为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426 可得， 426 2aaa，A 正确； 对于 B，由题意可知， 21212222nnnnn bSaaS ， 1212 bSaa， 234 baa， 478 baa， 61112 baa， 81516 baa 478 22baa， 26341112 bbaaaa 根据等差数列的下标和性质，由3 1177，4 1288 可得 26341112784 =2=2bbaaaaaab，B 正确； 对于 C， 2 22 4281111
13、1 37222aa aadadadda dd da， 当 1 ad时， 2 428 aa a，C 正确； 对于 D， 22 222 478111 213452169baaadaa dd， 22 2 83415161111 25229468145b baaaaadadaa dd， 22 42 811 2416832bb bda ddda 当0d时， 1 ad， 11 3220dadda即 2 42 8 0bb b； 当0d时， 1 ad， 11 3220dadda即 2 42 8 0bb b，所以 2 42 8 0bb b，D 不正确 故选：D. 【考点】等差数列的性质应用 8.【答案】D 【解
14、析】因为| 24PAPB ，所以点P在以,A B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线 的右支上，由2c ，1a 可得， 222 413bca ，即双曲线的右支方程为 2 2 10 3 y xx，而点P还在函数 2 3 4yx的图象上，所以， 由 2 2 2 10 3 3 4 y xx yx ，解得 13 2 3 3 2 x y ，即 1327 10 44 OP 故选：D. 【考点】双曲线的定义的应用，二次曲线的位置关系的应用 【考查能力】数学运算 9.【答案】C 【解析】因为0ab ，所以0a 且0b，设( )()()(2)f xxa xb xab，则( )f x的零点 为 1 xa， 2 x
15、b， 3 2xab 当0a时，则 23 xx， 1 0 x，要使( )0f x ，必有2aba，且0b， 即ba ，且0b，所以0b； 当0a时，则 23 xx， 1 0 x，要使( )0f x ，必有0b. 综上一定有0b. 故选：C 【考点】三次函数在给定区间上恒成立问题 【考查能力】分类讨论思想 10.【答案】A 【解析】首先利用排除法： 若取1,2,4S ，则2,4,8T ，此时1,2,4,8ST ，包含 4 个元素，排除选项 D； 若取2,4,8S ，则.，此时2,4,8,16,32ST ，包含 5 个元素，排除选项 C； 若取2,4,8,16S ，则8,16,32,64,128T
16、，此时2,4,8,16,32,64,128ST ，包含 7 个元 素，排除选项 B； 下面来说明选项 A 的正确性： 设集合 1234 ,Sp ppp，且 1234 pppp ， 1234 ,p ppp * N， 则 1224 p pp p，且 1224 ,p pp pT，则 4 1 p S p ， 同理 4 2 p S p ， 4 3 p S p ， 3 2 p S p ， 3 1 p S p ， 2 1 p S p ， 若 1 1p ，则 2 2p ，则 3 3 2 p p p ，故 3 2 2 p p p 即 2 32 pp， 又 44 4 23 1 pp p pp ，故 44 2 2 32 pp p pp ，所以 3 42 pp， 故 23
