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1、高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴数轴上的点与实数之间可以 建立一一对应关系 (2)平面直角坐标系： 定义： 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称 为直角坐标系； 数轴的正方向： 两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为 两条数轴的正方向； 坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴； 坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； 对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x
2、，y)之间可以建立一一对应关系 (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点为P，填表： 两点间的距离公式中点 P 的坐标公式 |P1P2|（ x1 x2）2（ y1y2） 2 x x1x2 2 y y1y2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： x x（ 0） y y（ 0） 的作用下， 点 P(x， y)对应到点P(x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫
3、做极轴；再选 定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立 了一个极坐标系 (2)极坐标系的四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向 (3)图示 2极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离 |OM|叫做点 M 的极径， 记为 ；以极轴 Ox 为始边， 射线 OM 为终边的角xOM 叫做点 M 的极角， 记为 .有序数对 ( ， )叫做点 M 的极坐标，记作M( ，) (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是 (0， )，( R)，若点 M 的极坐标是M( ，)，则点 M 的
4、极坐标也可写成M( ，2k)， (kZ) 若规定 0，02，则除极点外极坐标系内的点与有序数对( ，)之间才是一一 对应关系 3极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同， 设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，( ，) (1)极坐标化直角坐标 x cos， y sin. (2)直角坐标化极坐标 2x2y2， tan y x （x0）. 三简单曲线的极坐标方程 1曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f( ，)0，并且坐标适合方程f( ，)0 的点都在曲线C 上，
5、那么方程f( ，) 0 叫做 曲线 C 的极坐标方程 2圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置极坐标方程图形 圆心在极点 (0，0) r (0 2) 圆心在点 (r， 0) 2rcos_ ( 2 2 ) 圆心在点 (r， 2 ) 2rsin_ (0 ) 圆心在点 (r， ) 2rcos_ ( 2 3 2 ) 圆心在点 (r， 3 2 ) 2rsin_ ( 0) (2)一般情形：设圆心C(0，0)，半径为r，M( ，)为圆上任意一点，则|CM|r， COM | 0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为 22 0cos( 0) 2 0r20 即 )cos(2 00 2 0 22 r 3
6、直线的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 直线位置极坐标方程图形 过极点，倾斜角为 (1) ( R) 或 ( R) (2) ( 0) 和 ( 0) 过点 (a，0)，且与极轴 垂直 cos_a 2 2 过点 a， 2 ， 且与极轴 平行 sin_a (0 ) 过点 (a，0)倾斜角为 sin( )asin (0 ) (2)一般情形，设直线l 过点 P(0，0)，倾斜角为 ，M( ，)为直线 l 上的动点，则在 OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为 sin( )0sin( 0) 四柱坐标系与球坐标系简介（了解） 1柱坐标系 (1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设 P
7、是空间任意一点，它在Oxy 平面 上的射影为Q，用 ( ，)( 0，02)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点P的 位置可用有序数组 （ ，z）(zR)表示 这样， 我们建立了空间的点与有序数组 ( ， z)之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组( ，z) 叫做点 P 的柱坐标，记作P( ，z)，其中0，02， zR (2)空间点 P 的直角坐标 (x，y，z)与柱坐标 ( ，z)之间的变换公式为 x cos y sin zz 2球坐标系 (1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接OP，记 |OP|r，OP 与 Oz
8、轴正向所夹的角为，设 P 在 Oxy 平面上的射影为Q，Ox 轴按逆时针方 向旋转到OQ 时所转过的最小正角为 ，这样点 P 的位置就可以用有序数组(r，)表示， 这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的 坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组 (r，)，叫做点P 的球坐标，记作 P(r，)，其中 r0，0， 0b0)的参数方程是 x acos y bsin ( 是参 数)，规定参数 的取值范围是 0，2) (2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆 y2 a2 x2 b2 1(ab0)的参数方程是 x bcos y asin ( 是参 数)，规定参数 的
9、取值范围是 0，2) (3)中 心 在 (h， k) 的 椭 圆 普 通 方 程 为 （xh） 2 a2 （ yk） 2 b2 1， 则 其 参 数 方 程 为 x hacos y kbsin ( 是参数 ) 2双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 1双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 x2 a2 y2 b2 1 的参数方程是 xasec ybtan ( 为参数 )， 规定参数 的取值范围为 0，2)且 2 ， 3 2 (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线 y2 a2 x 2 b2 1 的参数方程是 xbtan yasec ( 为参数 ) 2抛物线的参数方程 (1)抛
10、物线 y22px 的参数方程为 x2pt2 y2pt (t 为参数 ) (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 三直线的参数方程 1直线的参数方程 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos yy0tsin (t 为参数 ) 2直线的参数方程中参数t 的几何意义 (1)参数 t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点 M0的距离 (2)当M0M 与 e(直线的单位方向向量)同向时， t 取正数当 M0M 与 e 反向时， t 取负数， 当 M 与 M0重合时， t0 3直线参数方程的其他形式 对于同一条直线的普通方程，
11、选取的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线，选取参数tM0M 得到的参数方程 xx0tcos yy0tsin (t 为参数 ) 称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义 一般地，过点M0(x0，y0)，斜率 k b a(a，b 为常数 )的直线，参数方程为 x x0 at y y0 bt (t 为参 数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义 四渐开线与摆线（了解） 1渐开线的概念及参数方程 (1)渐开线的产生过程及定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧， 保持
12、绳子与圆相切， 逐渐展开， 铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆 (2)圆的渐开线的参数方程 以基圆圆心O 为原点， 直线 OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半 径为 r，绳子外端M 的坐标为 (x，y)，则有 xr（cos sin） ， yr（sin cos） ( 是参数 )这就是圆 的渐开线的参数方程 2摆线的概念及参数方程 (1)摆线的产生过程及定义 平面内， 一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫 做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线 (2)半径为 r 的圆所产生摆线的参数方程为 x r（ sin） ， y r（1cos） ( 是参数 )
