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1、04. 三角函数知识要点 1. 与（ 0 360 ） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ） ： Zkk,360| 终边在 x 轴上的角的集合：Zkk,180| 终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180| 终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90| 终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180| 终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180| 若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：k360 若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：180360 k 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
2、90360 k 2. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式：1rad 180 57.30=5718 1 180 0.01745 （ rad） 3、弧长公式： rl| . 扇形面积公式： 2 11 | | 22 slrr 扇形 4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于 原点的）一点P（x,y）P 与原点的距离为r，则 r y sin ； r x cos ； x y tan ； y x cot ； x r sec ；. y r csc . 5
3、、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切余弦、正割 - - - - -+ + + + + - + 正弦、余割 o o o x y x y x y 6、三角函数线 y x SIN COS三角函数值大小关系图 sinx cosx 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 1 2 3 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx r o x y a的终边 P（ x,y ) T M AO P x y 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线：AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数定义域 )(xfsinxRxx | )(xf
4、cosxRxx | )(xftanx ZkkxRxx, 2 1 |且 )(xfcotxZkkxRxx,|且 )(xfsecx ZkkxRxx, 2 1 |且 )(xfcscxZkkxRxx,|且 8、同角三角函数的基本关系式： tan cos sin cot sin cos 1cottan 1sincsc1cossec 1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22 9、诱导公式： 2 k 把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限” (3) 若 ox2,则sinxx|cosx| |cosx|sinx|cosx|sinx| |sinx|cosx| sinx
5、cosx cosxsinx 16. 几个重要结论: O O x y x y 任意角的概念 弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数 的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函 数值求角 和角公式 倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用 三角函数的公式： （一）基本关系 公式组二公式组三 xxk xxk xxk xxk cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( 公式组四公式组五公式
6、组六 xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( xx xx xx xx cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( （二）角与角之间的互换 公式组一公式组二 sinsincoscos)cos(cossin22sin sinsincoscos)cos( 2222 sin211cos2sincos2cos sincoscossin)sin( 2 tan1 tan2 2tan sincoscossin)sin( 2
7、cos1 2 sin tantan1 tantan )tan( 2 cos1 2 cos tantan1 tantan )tan( 公式组三公式组四公式组五 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 4 26 75cos15sin , 4 26 15cos75sin ,3275cot15tan,3215cot75tan. 公式组一 sinxcscx=1tanx= x x cos sin sin 2x+cos2x=1 cosxsecxx= x x sin cos 1+tan 2 x =sec 2 x tanxcot
8、x=1 1+cot 2 x=csc 2x =1 coscos 2 1 sinsin coscos 2 1 coscos sinsin 2 1 sincos sinsin 2 1 cossin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan sin) 2 1 cos( cos) 2 1 sin( cot) 2 1 tan( sin) 2 1 cos( cos) 2 1 sin( cot) 2 1 tan( 3、两角和与差的正弦
9、、余弦、正切公式及倍角公式： sinsin coscos sinsin22sincos 令 22 22 2 2 2 coscoscossinsincos2cossin 2cos11 2sin tantan1+cos2 tancos 1tantan2 1cos2 sin 2 2tan tan2 1tan 令 m m 2.正、余弦定理：在 ABC中有 : 正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC （R为ABC外接圆半径） 2sin 2sin 2sin aRA bRB cRC sin 2 sin 2 sin 2 a A R b B R c C R 注意变形应用 面积公式： 111 sin
10、sinsin 222 ABC SabsCacBbcA 余弦定理： 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cababC 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac abc C ab 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin （A、 0） 定义域RRR 值域 1, 1 1, 1RR AA, 周期性22 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 当,0 非奇非偶 当,0 奇函数 ZkkxRxx, 2 1 |且 ZkkxRxx,|且 xycotxytan xycos xysin 单调性 2
11、2 ,2 2 k k 上 为 增 函 数； 2 2 3 ,2 2 k k 上 为 减 函 数（Zk） 2 ,12 k k ； 上 为 增 函 数 12 ,2 k k 上 为 减 函 数 （Zk） kk 2 , 2 上为增函数 （Zk） 1, kk上为减函 数（Zk） )( 2 1 2 ),( 2 2 A k A k 上为增函数； )( 2 3 2 ),( 2 2 A k A k 上为减函数 （Zk） 注意： xysin 与 xysin 的单调性正好相反； xycos 与 xycos 的单调性也同样相 反.一般地，若)(xfy在,ba上递增（减） ，则)(xfy在,ba上递减（增）. xysin
12、 与xycos的周期是. )sin( xy或)cos( xy（0 ）的周期 2 T. 2 tan x y 的周期为2（ 2TT ，如图，翻折无效）. )sin( xy的对称轴方程是 2 kx （Zk） ，对称中心（0,k） ；)cos( xy的 对称轴方程是kx（Zk） ， 对称中心（ 0 , 2 1 k ） ；)tan( xy的对称中心 （ 0, 2 k ） . xxyxy2cos)2cos(2cos 原点对称 当 tan , 1tan)( 2 Zkk ； tan, 1tan )( 2 Zkk . xycos 与 kxy2 2 sin 是同一函数 ,而 )( xy 是偶函数，则 )cos()
13、 2 1 sin()(xkxxy . 函数 xytan 在R上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是 定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数： )()(xfxf，奇函数： )()(xfxf） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数， ) 3 1 tan(xy 是非奇非偶 .（定 义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有 0)0(f.（x0的定义域，则无此性 O y x 质） xysin
14、 不是周期函数； xysin 为周期函数（ T ） ； xycos 是周期函数（如图） ； xycos 为周期函数（T） ； 2 1 2cos xy 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： Rkkxfxfy),(5)(. a b babaycos)sin(sincos 22 有yba 22 . 11、三角函数图象的作法： ） 、几何法： ） 、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲 线） . ） 、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 yAsin（ x ）的振幅 |A| ，周期2 | T ，频率 1
15、| 2 f T ，相位;x初相 （即当 x0 时的相位） （当 A0， 0 时以上公式可去绝对值符号）， 由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当0 |A| 1）到原来的 |A| 倍，得到 yAsinx 的图象， 叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y） 由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0| | 1）或缩短（ | | 1）到原来的 1 |倍，得到 y sin x 的图象， 叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 (用 x 替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行
16、移动 个单位， 得到 y sin（x ）的图象，叫做相位变换 或叫做沿x 轴方向的平移(用 x替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下 （当 b0）平行移动 b个单位， 得到 y sinx b 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+(-b)替换 y） 由 ysinx 的图象利用图象变换作函数y Asin（ x ） （A0， 0） （x R）的图 象，要特别注意： 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数 y sinx， 22 ，x 的反函数叫做 反正弦函数 ，记作 yarcsinx，它的定义域是1， 1 ，值域是 22 ， 函数 ycosx， （x 0， ）的反应函数叫做反余弦函数 ，记作yarccosx，它的定 义域是 1，1 ，值域是 0， 函数 ytanx， 22 ，x 的反函数叫做反正切函数 ， 记作 yarctanx， 它的定义域是 （ y x y= cos|x|图象 1/2 y
