小学奥数：中国剩余定理及余数性质拓展.专项练习[汇编]

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1、5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 1 of 9 1.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理 2.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 一、中国剩余定理中国古代趣题 （1）趣题一 中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二， 五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说， 每 3 人一列余 1 人、 5 人一列余2 人、 7 人一列余4 人、 13 人一列余6 人。刘邦茫然而 不知

2、其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人 一列都剩3 人，则兵有多少？ 首先我们先求5、 9、13、17 之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17 为两两互质 的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得 9948（人） 。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后， 以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解 法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数 学中占有一席非常重要的地位。 （

3、2）趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数， 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的 优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3 所得的余数用70 乘 五树梅花廿一枝，是说除以5 所得的余数用21 乘 七子团圆正月半，是说除以7 所得的余数用15 乘 除百零五便得知，是

4、说把上面乘得的3 个积加起来， 减去 105 的倍数， 减得差就是所求 的数 此题的中国剩余定理的解法是：用70 乘 3 除所得的余数，21 乘 5 除所得的余数，15 乘 7 除所得的余数，把这3 个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍 比 105 大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求也就是270321215233， 233105128，128 10523 为什么 70， 21，15，105 有此神奇效用？70，21，15，105 是从何而来？ 先看 70，21，15，105 的性质： 70 被 3 除余 1，被 5，7 整除，所以70a是一个被3 除 知识点拨

5、 教学目标 5-5-4. 中国剩余定理 及余数性质拓展 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 2 of 9 余a而被 5 与 7 整除的数； 21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此21b是被 5 除余b，被 3 与 7 整除的数； 同理 15c是被 7 除余c， 被 3、 5 整除的数， 105 是 3， 5， 7 的最小公倍数 也 就是说，702115abc是被 3 除余a，被 5 除余b，被 7 除余c的数，这个数可能是解答， 但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解

6、答 二、核心思想和方法 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就 以孙子算经中的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3， 5，7 后，得到三个余数分别为2，3， 2. 那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3 余 1，并且还是5 和 7 的公倍数。 先由5735，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看35 除以 3 余 2，不符合要求，那么 就继续看5 和 7 的“下一个”倍数35270是否可以，很显然70 除以 3 余 1 类似的，我们再构造一个除以

7、5 余 1，同时又是3 和 7 的公倍数的数字，显然21 可以 符合要求。 最后再构造除以7 余 1，同时又是3， 5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然 数可以这样计算： 2703212453,5,72333,5,7kk，其中k是自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我 们就能找到所求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算27032124523,5,723 得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23 加上 3,5,7即可，即23+105=128。 模块

8、一、余数性质综合 【例 1 】一个数除以3 的余数是2，除以5 的余数是1，则这个数除以15 的余数 是。 【例 2 】有一群猴子正要分56 个桃子每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时又窜 来 4 只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一 个桃子则最后每只猴子分到桃子_个。 【巩 固】一群猴子分桃，桃子共有56 个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要 分桃时，又来了4 只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数 量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。 例题精讲 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 3 of 9 【例 3 】

9、一个小于 200 的数，它除以11 余 8，除以 13 余 10，这个数是几？ 【巩 固】不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5 人，其他人按8 人一 组围在外圈；另一种是中间一组8 人，其他人按5 人一组围在外圈。问最多有多 少名同学 ? 【例 4 】5 年级 3 班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人， 排成 6 排多 5 人，问上体育课的同学最少_人。 【巩 固】有一个自然数，除以2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5， 则这个数最小是。 【巩 固】 n 除以2余1，除以3余2

10、，除以4余3，除以5余4， L，除以16余15。 n最小 为。 【巩 固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1 人拿 3 个动物小玩具，则最后余 下 2 个动物小玩具；若1人拿 4 个动物小玩具，则最后余下3 个动物小玩具；若1 人拿 5 个动物小玩具，则最后余下4 动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 4 of 9 了_个动物小玩具。 【巩 固】小朋友们做游戏，若3 人分成一组，则最后余下2 人；若 4 人分成一组，则最后 余下 3 人；若 5 人分成一组，则最后余下4 人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。 【例 5

11、】一个自然数被7， 8，9 除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求 这个自然数 【例 6 】数 119 很奇特：当被2 除时，余数为1；当被3 除时，余数为2；当被 4 除时， 余数为 3；当被 5除时，余数为4；当被 6 除时，余数为5问：具有这种性质的 三位数还有几个？ 【巩 固】有一批图书总数在1000 本以内，若按24 本书包成一捆，则最后一捆差2 本；若 按 28 本书包成一捆，最后一捆还是差2 本书；若按32 本包一捆，则最后一捆是 30 本那么这批图书共有本 【例 7 】某个自然数除以2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小

12、 是。 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 5 of 9 【例 8 】一个大于 10 的自然数，除以5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的 自然数最小为多少？ 【巩 固】一个大于 10 的数，除以3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自 然数是多少？ 【例 9 】a 是一个三位数 . 它的百位数字是4，9a能被 7 整除，7a能被 9 整除，问 a 是 多少？ 【例 10 】 一个八位数，它被3 除余 1，被 4 除余 2，被 11 恰好整除，已知这个八位数的前 6 位是 257633，那么它的后两位数字是_。 模

13、块二、中国剩余定理 【例 11 】 “民间流传着一则故事韩信点兵秦朝末年，楚汉相争一次，韩信将 1500 名将士与楚王大将李锋交战苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤 四五百人忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌他命令士 兵 3 人一排，结果多出2 名；接着命令士兵5 人一排，结果多出3 名；他又命令 士兵 7 人一排，结果又多出2 名韩信马上向将士们宣布：我军有1073 名勇士， 敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人”根据故事中的条 件，你能算出韩信有多少将士么？ 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 6 of 9 【例 12 】

14、一个数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，问满足条件的最小自然数_. 【例 13 】 一个自然数在1000 和 1200 之间，且被3 除余 1，被 5 除余 2，被 7 除余 3，求符 合条件的数 【例 14 】 一个数除以3、5、7、11 的余数分别是2、3、4、 5，求符合条件的最小的数 【例 15 】 有连续的三个自然数a 、1a、2a，它们恰好分别是9、8、7 的倍数，求这 三个自然数中最小的数至少是多少？ 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 7 of 9 模块三、余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【例 16 】 有一个数，除以3 余 2，

15、除以 4 余 1，问这个数除以12 余几？ 【例 17 】 如图，在一个圆圈上有几十个孔( 不到 100 个) ，小明像玩跳棋那样，从A孔出发 沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔他先试着每隔 2 孔跳一步， 结果只能跳到B孔他又试着每隔4 孔跳一步， 也只能跳到B孔最 后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? B A 【例 18 】 三个连续三位数的和能够被13 整除， 且这三个数中最大的数被9 除余 4，那么符 合条件的三位数中最小的数最大是。 【例 19 】 某小学的六年级有一百多名学生若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一 行 排

16、队 ， 则 多 出 二 人 ； 若 按 七 人 一 行 排 队 ， 则 多 出 一 人 该 年 级 的 人数 是 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 8 of 9 【例 20 】 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按 三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排 队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是（）人。 【例 21 】 三个连续的自然数，从小到大依次是4、 7、9 的倍数，这三个自然数的和最小 是 【例 22 】 在 200 至 300 之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3 整除，中间的能 被 7 整除，最大的能被13 整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？ 【例 23 】 有三个连续自然数，其中最小的能被15 整除，中间的能被17 整除，最大的能被 19 整除，请写出一组这样的三个连续自然数 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.题库学生版 page 9 of 9