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1、1 裂项运算常用公式 一、分数 “ 裂差” 型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 ba 1 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 ab，那么有 : ) 11 ( 11 baabba (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： )2()1( 1 ) 1( 1 2 1 )2()1( 1 nnnnnnn )3()2()1( 1 )2() 1( 1 3 1 )3()2()1( 1 nnnnnnnnnn 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） abba b ba a ba ba11 （2） a b b a ba b ba a
2、ba ba 2222 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”， “先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简 化目的。裂和：抵消，或凑整 三、整数裂项基本公式 (1)1()1( 3 1 )1(.433221nnnnn 2 (2) )1()1)(2( 4 1 ) 1()2(.543432321nnnnnnn (3) )1()1( 3 1 )2)(1( 3 1 ) 1(nnnnnnnn nnnn 2 )1( (4) )2)(1() 1( 4 1 )3)(2)(1( 4 1 )2)(1(nnnn
3、nnnnnnn (5) !)!1(!nnnn 裂项求和部分基本公式 1.求和： 1) 1( 1 . 54 1 43 1 32 1 21 1 n n nn Sn 证： 11 1 1) 1 11 () 5 1 4 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1( n n nnn Sn 2.求和： 12) 12)(12( 1 97 1 75 1 53 1 31 1 n n nn Sn 证： 12 ) 12 1 1( 2 1 ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 7 1 5 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 n n nnn Sn 3.求和：
4、13)13)(23( 1 107 1 74 1 41 1 n n nn Sn 证：) 13 1 23 1 ( 3 1 ) 10 1 7 1 ( 3 1 ) 7 1 4 1 ( 3 1 ) 4 1 1( 3 1 nn Sn 13 ) 13 1 1( 3 1 n n n 3 4.求和：) 2 1 1 1 2 1 1( 3 1 )2( 1 64 1 53 1 42 1 31 1 nnnn Sn 证：) 1 1 1 1 ( 2 1 ) 6 1 4 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 4 1 2 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn Sn ) 2 1 1 1 2 1 1 ( 3
5、 1 ) 2 11 ( 2 1 nnnn 5.求和： )2)(1( 1 2 1 2 1 )2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 nnnnn Sn 证：因为 )2)(1( 1 )1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn ， )2)(1( 1 2 1 2 1 )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 ) 43 1 32 1 ( 2 1 ) 32 1 21 1 ( 2 1 nn nnnn Sn 特殊数列求和公式 2 )1( 321 nn n 2 12311321nnnn）（）（ 2 127531nn）（ 6 )12)(1( 21 222 nnn n 3 )14( 3 )12)(12( 12531 2 2222nnnnn n）（ 4 1 2121 22 2333nn nn 平方差公式)( 22 bababa 4 完全平方和（ / 差）公式 222 2)(bababa
