《小学奥数数论讲义4-整数分拆之最值与应用强化篇[参考]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数数论讲义4-整数分拆之最值与应用强化篇[参考]（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、 拆分的基础知识 整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整 除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方 法。 二、拆分基本方法 1. 题目要求拆质数且乘积最大若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1拆分后 乘积最大”原则。 2. 若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和要求这些自然数的乘积尽量大 应将数列拆分成：a234的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则： 当多 0 时，将a拆成a234 (n-1)n； 当多 1 时，将a拆成a345 (n-1)( n-1) ； 当多 2
2、，3，n1 中的数时，就将该数从2， 3，n1，n中删除，其余数即为所拆之数。 例如：将 30 拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？ 234567835 比 30 大 5，故将 5 去掉 30 被拆成 234678 【例 1】将 15 拆分成 2 个数的和，并且使这2 个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？ 【巩固1】把 11 拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆 分？ 【巩固 2】试把 14 拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。 【例 2】试把 14 拆分为 3 个自然数之和，使它们的乘积最大。 整数分拆之最值与
3、应用 【巩固】试把19 拆分为 3 个自然数之和，使它们的乘积最大。 【例 3】试把 1999 拆分为 8 个自然数的和，使其乘积最大。 【巩固】试把1553 拆分为 6 个自然数的和，使其乘积最大。 【例 4】将一根长144 厘米的铁丝 , 做成长和宽都是整数的长方形, 共有种不同的做法， 其中面积最大的是哪一种长方形？ 【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100 米，它们的一条边长分别是30 米， 28 米和 25 米。这三块中哪一块地最大？面积是多少？ 【例 5】把 14 拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14 如何拆 分？这个最大的乘积是多少？
4、【巩固】分别拆分2001、1994、1993 三个数，使拆分后的积最大。 【例 6】把 72 拆分成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何拆分？ 【巩固】 把 1993 拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？ 答案 【例 1】将 15 进行拆分，并计算乘积 15114 11414 15213 21326 15312 31236 15411 41144 15510 51050 1569 6954 1578 7856 15 拆分成 7 和 8 的和，乘积最大，是56 【巩固 1】把 11 拆分成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时 有 11
5、0，29， 38，47，56 五种方法 它们的乘积分别是：11010，2918，3824，4728，5630 显然，把11 拆分成 56 时 有最大的积5630 【巩固 2】把 14 拆分成两个自然数之和，共有7 种不同的方式 若想乘积最大 1477，7749 因此，当把14 拆分为两个7 之和的时候，乘积(7749) 最大 【例 2】由例1 的说明对于两个数可知，假设nab (ab) 且ab1 时，乘积ab不是最大 的。 换句话说，若nab (ab) ，当a、b两数相等或差为1 时，乘积ab取最大值。 那么对于三个数呢？ 假设nabc (abc) 且ac1 时，乘积abc不是最大的。 若na
6、bc (abc) ，当a、b、c中的任意两数相等或差为1 时，乘积abc取最 大值。 因为 14342， 由分析可知：当ab5 且c4 时 乘积abc554100 为最大值 【巩固】利用上面的结论可知，若nabc (abc) 当a、b、c中的任意两数相等或差为1 时，乘积abc取最大值 由分析可知：当ab6 且c7 时 乘积abc667252 为最大值 【例 3】反复使用上述结论，可知要使拆分成的8 个自然数的乘积最大 必须使这8 个数中的任意两数相等或差数为1 因为 199982497，199982497 由上述分析，拆法应是1 个 249，7 个 250 其乘积 249250 7 为最大
7、【巩固】利用例题3 的结论：可知要使拆分成的6 个自然数的乘积最大 必须使这 6 个数中的任意两数相等或差数为1 因为 155362585 由上述分析，拆法应是1 个 258，5 个 259 其乘积 258259 5 为最大 【例 4】36 种，当长与宽都是36 厘米时 , 面积最大 【巩固】边长是25 的正方形的地面积最大，是625 平方米 【例 5】根据上面的讨论结果，我们应该把14 拆分成四个3 与一个 2 之和 即 1433332 这五数的积有最大值33332162 【巩固】20016673 2001 拆分成 (667 个 3 的和 ) 时，其积最大 199466432 1994 拆分成 (664 个 3 的和 ) 2 时，其积最大 199366431 1993 拆分成 1 442 4 4 3 663个3 33322L时，其积最大 【例 6】为使所有加数的乘积最大，显然要使加数的个数尽可能多，每个加数尽可能小，但又不能是 1， 所以应将72 拆分成从2 开始的若干个连续自然数。 因为： 234116572 234127772 77725，所以从加数中去掉5 即： 482346789101112 最多可以拆成10 项 【巩固】 2321232463
