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1、2018 年贵州省高中数学联赛试题2018 年贵州省高中数学联赛试题 第卷（共 60 分）第卷（共 60 分） 一、选择题：每小题 6 分，本大题共 30 分.一、选择题：每小题 6 分，本大题共 30 分. 1.小王在文档中设计好一张规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计张，小王欲word4A1000 使用“复制粘贴” （用鼠标选中表格，右键点击“复制” ，然后在本文档中“粘贴” ）的办法满足word 要求.请问：小王需要使用“复制粘贴”的次数至少为（ ） A次 B次 C次 D次9101112 2.已知一双曲线的两条渐近线方程为和，则它的离心率是（ ）30 xy30 xy A B C
2、D232 231 3.在空间直角坐标系中，已知，则到面、面、面(0,0,0)O(1,0,0)A(0,1,0)B(0,0,1)COABOBC 、面的距离相等的点的个数是（ ）OACABC A B C D无穷多 145 4.若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（ ） 2 2 3 A B C D 1 arcsin 3 1 arccos 3 2 arcsin 3 2 arccos 3 5.已知等差数列及，设，若对，有 n a n b 12nn Aaaa 12nn Bbbb * nN ，则（ ） 35 53 n n An Bn 10 6 a b A B C D 3
3、5 33 31 29 175 99 155 87 二、填空题（每小题 6 分，本大题共 60 分）二、填空题（每小题 6 分，本大题共 60 分） 6.已知为所在平面上一定点，动点满足，其，则点OABCP() ABAC OPOA ABAC 0,)P 的轨迹为 7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况 ： 最佳选手的孪生 同胞与最差选手性别不同；最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是 8.方程组的实数解为 22 26 ()6 xy xy xy 9.如图，在中，点在上，则ABDCAD 2 ABC 6 DBC 1ABCDAC 10.函数的最小值是 2
4、2 22121013zxxxx 11.若边长为的正的三个顶点到平面的距离分别为 ， 则的重心到平面的距6ABC123ABCG 离为 12.若实数使得不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围 a 2 22xaxaaxa 13.若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 (0,1) x ax aaa 14.顺次连结圆与双曲线的交点，得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积 22 9xy3xy 为 15.函数的所有零点之和等于 2(5)sin1(010)yxxx 三、解答题（每小题 15 分，本大题共 60 分）三、解答题（每小题 15 分，本大题共 60 分） 16.已知函数，求该函数的值域. 2 32
5、yxxx 17.已知椭圆：的离心率，直线与交于、两点，且C 22 22 1(0) xy ab ab 2 2 e 21yxCAB . 8 5 9 AB （1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线 （斜率不为零）与椭圆交于不同的两点、（在点、之间） ，记(2,0)MlCEFEFM ，求的取值范围. OME OMF S S 18.证明：（1）； 1 1111 1 2212221 kkkk (2,)nnN （2）分别以 ，为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内.1 1 2 1 3 1 n 3 2 19.已知梯形， 边、分别为上、 下底， 且， 对角线， 过作ABCDCDAB90ADC A
6、CBDDDEBC 于点.E （1）证明：； 22 ACCDAB CD （2）证明：. 22 AEAC CD BEACCD 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1-5: BACBB 二、填空题二、填空题 6. 的角平分线 7. 牛得亨先生的女儿 8. 或BAC 1 3 x y 3 1 x y 9. 10. 11. 3 210 2 4 0,2 3 3 12. 13. 14. 15. 3 3 , 2 2 1 1 e ae6 560 三、解答题三、解答题 16.解：令，则，则，1ux 2 331yuu 1u 设，则，且. 2 10uut min 01tu 11 () 2 ut t 当时，0u 31
7、11 ()3() 22 yttt tt 2 3t t 由于，故函数单调递减，所以.01t 1236y 当时，0u 3111 ()3() 22 yttt tt （当且仅当，即时取等号） 1 2332 2t t 2 2 t 43 2 4 x 所以函数的值域为.(,32 26,) 17.解：（1）由得，所以椭圆的方程为， 2 2 e 22acb 222 220 xyb 由得， 222 220 21 xyb yx 22 98(22)0 xxb 所以， 2 6436(22)b 由得，即， 8 5 9 AB 2 8 5 12 99 2 1b 所以椭圆的方程为.C 2 2 1 2 x y （2）设 ：，且、
8、，l2xmy 11 ( ,)E x y 22 (,)F xy 由得， 22 220 2 xy xmy 22 (2)420mymy 所以由解得，且，0 2 2m 12 2 4 2 m yy m 12 2 2 2 yy m 由得， 1 2 1 2 1 2 OME OMF OMy S S OMy 12 yy 由得， 2 222 211 (1)884 m mm 所以，解得，且. 2 11 8(1)4 032 21 18.证明：（1）. 1 1111 2212221 kkkk 2 1112 1 2222 k k kkkk 个 （2）由（1）知， 1 1111 1 2212221 kkkk 故以边长为，的
9、正方形可以并排放入底为 ，高为的矩形内，而不重 1 2k 1 21 k 1 22 k 1 1 21 k 1 1 2k 叠. 取，即得底分别为2,3,4k ， 223 111 22121 334 111 22121 ，高分别为，的一系列矩形， 445 111 22121 2 1 2 3 1 2 4 1 2 这些矩形的底小于 ，高的和为1 . 2 234 11 (1) 111 22 lim 1 222 1 2 n x 111 lim(1) 222 n x 因此，以 ，为边长的正方形中，除了边长为 ，的正方形外，其余的正方形全1 1 2 1 3 1 n 1 1 2 1 3 部可以放入底为 ，高为的矩
10、形中（如图阴影部分）.1 1 2 而边长为 ，的三个正方形显然可以放入底为，高为 的矩形内（如图）.1 1 2 1 3 3 2 1 19.证明：如图. （1）由于，故.90ADC 222 ACCDAD 因为对角线，所以.ACBD90DCABDCADB 而，则，故.90ADCBAD ACDBDA 2 ADAB ADAB CD CDAD 因此，有. 22 ACCDAB CD （2）由于，故，90ADC 222 ACCDAD 所以. 222 AC CDAC CD ACCDAD AC CDAC AB CDAB 因为，180BADDEB 所以、四点共圆，故.ABEDAEBADB 由于，90BACCADADB 且，AEBBAC EBAABC 则，故.ABECBA AECA BEAB 所以. 22 AEAC CD BEACCD
