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1、学 海 无 涯 第页 0 数学竞赛讲义 目录目录 第一章第一章 集合集合2 2 第二章第二章 函数函数1515 2.1 函数及其性质函数及其性质1515 2.2 二次函数二次函数 2121 2.32.3 函数迭代函数迭代 2828 2.4 抽抽象象函函数数 3232 第三章第三章 数列数列3737 3.1 等差数列与等比数列等差数列与等比数列3737 3.2 递归数列通项公式的求法递归数列通项公式的求法 4444 3.3 递推法解题递推法解题4848 第四章第四章 三角三角 平面向量平面向量 复数复数5151 第五章第五章 直线、圆、圆锥曲线直线、圆、圆锥曲线6060 第六章第六章 空间向量空
2、间向量 简单几何体简单几何体6868 第七章第七章 二项式定理与多项式二项式定理与多项式7575 第八章第八章 联赛二试选讲联赛二试选讲 8282 8.1 平几名定理、名题与竞赛题 8282 8.2 数学归纳法 9999 8.3 排序不等式 103103 第一章 集合 集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学 的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函 数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛 中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学 大厦的
3、基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题. 1.1 集合的概念与运算 【基础知识】【基础知识】 一集合的有关概念一集合的有关概念 1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的 元素. 2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. 3集合的分类：无限集、有限集、空集. 学 海 无 涯 第页 1 4. 集合间的关系： 二集合的运算二集合的运算 1交集、并集、补集和差集 差集：记 A、B 是两个集合，则所有属于 A 且不属于 B 的元素构成的集合记作BA. 即AxBA=且Bx. 2.集合的运算性质 (1)AAA=,AAA=(幂等律); (2)ABBA=
4、, ABBA=(交换律); (3)()(CBACBA=, )()(CBACBA=(结合律); (4)()()(CABACBA=,)()()(CABACBA=(分配律); (5)AABA=)( ,ABAA=)( (吸收律); (6)AACC UU =)(对合律); (7)()()(BCACBAC UUU =, )()()(BCACBAC UUU =(摩根律) (8)()()(CABACBA=,)()()(CABACBA=. 3.集合的相等 (1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集; (3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充
5、要条件),即等价; (4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集 合相等的必要条件. 【典例精析】【典例精析】 【例 1】在集合, 2 , 1n中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之 和是 . 分析 已知, 2 , 1n的所有的子集共有 n 2个.而对于, 2 , 1ni,显然, 2 , 1n中 包含i的子集与集合, 1, 1, 2 , 1nii+的子集个数相等.这就说明i在集合, 2 , 1n 的所有子集中一共出现 1 2 n 次,即对所有的i求和,可得).(2 1 1 = = n i n n iS 【解】集合, 2 , 1n的所有子
6、集的元素之和为 2 ) 1( 2)21 (2 11 + =+ nn n nn =.2) 1( 1 + n nn 说明本题的关键在于得出, 2 , 1n中包含i的子集与集合, 1, 1, 2 , 1nii+的 学 海 无 涯 第页 2 子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例 2】 已知集合034|,023| 222 +=+=aaxxxBxxxA且BA ,求参数a 的取值范围. 分析首先确定集合 A、B,再利用BA 的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得0)3)( |,12|=axaxxBxxA 当0a时,3|axaxB=,由BA 知无解; 当0=a时
7、,=B,显然无解; 当0a时, 3|axaxB=,由BA 解得. 3 2 1a 综上知,参数a的取值范围是 3 2 , 1. 说明本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合 B 要分类讨论使其取值范围数 字化,才能通过条件求出参数的取值范围. 【例 3】 已知 + RyRx,集合1, 2 ,1, 1 2 +=+=y y yBxxxxA.若BA=, 则 22 yx +的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.10 【解】0) 1( 2 +x,xxx+1 2 ,且01 2 +xx及集合中元素的互异性知 xxx+1 2 ,即1x,此时应有. 11 2 +xxxx 而 + Ry,从而在集合 B
8、 中,. 2 1y y y+ 由BA=,得 )3( )2( ) 1 ( 1 2 11 2 = = +=+ yx y x yxx 由(2)(3)解得2, 1=yx,代入(1)式知2, 1=yx也满足(1)式. . 521 2222 =+=+yx 说明本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中 对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的 学 海 无 涯 第页 3 关键. 【例 4】 已知集合|,| , 0),lg(,yxBxyyxA=.若BA=,求+) 1 () 1 ( 2 2 y x y x +) 1 ( 2008 2008
9、y x+的值. 分析从集合 A=B 的关系入手,则易于解决. 【解】BA=, = +=+ 0)lg( |)lg( xyxyx yxxyxyx ,根据元素的互异性,由 B 知0, 0yx. B0且BA=,A0,故只有0)lg(=xy,从而. 1=xy 又由A1及BA=,得.1B 所以 = = 1| 1 x xy 或 = = 1 1 y xy ,其中1= yx与元素的互异性矛盾! 所以, 1= yx代入得: +) 1 () 1 ( 2 2 y x y x+) 1 ( 2008 2008 y x+=(2)+2+(2)+2+(2)+2=0. 说明本题是例 4 的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是
10、本题利用的是集合相等的 必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、 各元素之积及元素个数相等.这是解决 本题的关键. 【例 5】已知 A 为有限集,且 * NA,满足集合 A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写 出所有这样的集合 A. 【解】 设集合A=) 1(, 21 naaa n 且 n aaa 21 1,由=+ n aaa 21n aaa 21 , *)(Nnnan,得 n na=+ n aaa 21n aaa 21 )!1( nan,即)!1( nn 2=n或3=n(事实上,当3n时,有)2) 1()2)(1()!1(nnnnn. 当2=n时,1, 2,2 1122121
11、 =+=aaaaaaa,而. 2,11 22 +naa 当3=n时,3,3 213321321 +=aaaaaaaaa,. 2, 1 21 =aa 由 33 32aa+=,解得. 3 3 =a 学 海 无 涯 第页 4 综上可知,.3 , 2 , 1=A 说明本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合 A.在解决问题时,应注意分 析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解. 【例6】 已知集合02|,023| 22 +=+=aaxxxSxxxP,若PS ,求实数a的 取值组成的集合 A. 【解】21 |=xxP,设aaxxxf+=2)( 2 . 当04)2( 2 =aa
12、,即10 a时,=S,满足PS ; 当04)2( 2 =aa,即0=a或1=a时, 若0=a,则0=S,不满足PS ,故舍去; 若1=a时,则1=S,满足PS . 当04)2( 2 =aa时,满足PS 等价于方程02 2 =+aaxx的根介于 1 和 2 之间. 即 034 01 21 10 0)2( 0) 1 ( 2 2 )2( 1 0 a a a aa f f a 或 a. 综合得10 a,即所求集合 A10|=aa. 说明先讨论特殊情形(S=),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论. 0 【例 7】(2005 年江苏预赛)已知平
13、面上两个点集 22 ( , )| |1|2(),Mx yxyxyx y=+R, ( , )| |1|1,Nx yxayx y=+R. 若 MN , 则 a 的取值范围是 【解】 由题意知 M 是以原点为焦点、 直线 10 xy+ = 为 准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 ( ,1)a 为中 心的正方形及其内部的点集(如图) 考察 MN = 时, a 的取值范围: -2 -14 6 -35 7 -1 y x 1 2 3 1 2 3O 学 海 无 涯 第页 5 令 1y =, 代入方程 22 |1|2()xyxy+=+ , 得 2 420 xx =，解出得 26x = 所以， 当 261
14、 16a = 时, MN = 令 2y =，代入方程 22 |1|2()xyxy+=+, 得 2 610 xx =. 解出得 310 x = 所以，当 310a + 时, MN = 因此, 综合 与 可知，当 16310a+，即 16, 310a+ 时, MN 故填 16,310+. 【例 8】已知集合, 4321 aaaaA=, 2 4 2 3 2 2 2 1 aaaaB =,其中 4321 aaaa, Naaaa 4321 ,.若, 41 aaBA=,10 41 =+aa.且BA中的所有元素之和为 124,求 集合 A、B. 【解】 4321 aaaa,且, 41 aaBA=, 2 11
15、aa =,又Na 1 ,所以. 1 1= a 又10 41 =+aa,可得9 4 =a,并且 4 2 2 aa =或. 4 2 3 aa = 若9 2 2 =a,即3 2 =a,则有,12481931 2 33 =+aa解得5 3 =a或6 3 =a(舍) 此时有.81,25, 9 , 1,9 , 5 , 3 , 1=BA 若9 2 3 =a,即3 3 =a,此时应有2 2 =a,则BA中的所有元素之和为 100124.不合题意. 综上可得, .81,25, 9 , 1,9 , 5 , 3 , 1=BA 说明本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用 发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部 分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了. 【例 9】满足条件|4| )()(| 2121 xxx
