高考理科统计与概率常考题型及训练（2020年8月整理）.pdf

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1、学 海 无 涯 1 高考统计与概率知识点、题型及练习高考统计与概率知识点、题型及练习 一一随机变量随机变量 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就 被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变 量。若 是一个随机变量，a，b 是常数.则ba +=也是一个随机变量。一般地，若 是随机变量，)(xf是连续函数

2、 或单调函数，则)(f也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量。 设离散型随机变量 可能取的值为：, 21i xxx 取每一个值), 2 , 1( 1 =ix的概率 ii pxP=)(，则表称为随机 变量 的概率分布，简称 的分布列. 1 x 2 x i x P 1 p 2 p i p 性质性质：, 2 , 1, 0 1 =ip； 1 21 =+ i ppp. 3. 二项分布二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概 率是： knkk n qPCkP = )(其中pqnk=1, 1 , 0)。 于是得到随机变量 的概

3、率分布如下：我们称这样的随机 变量 服从二项分布，记作记作B（n，p） ，其中 n，p 为参数。. 二项分布的判断与应用二项分布的判断与应用： 二项分布， 实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复， 且每次试验只有两种结果， 如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布。 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时 可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列。 4. 几何分布几何分布：“k=”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 k A，事件 A不 发

4、生 记 为 k A，qAP k =)(， 那 么 根 据 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 分 式 ： )()().()()()( 1321kk APAPAPAPAPkP =), 3 , 2 , 1( 1 = kpqk ，于是得到随机变量 的概率分布列. 1 2 3 k P q qp pq2 pqk 1 我们称 服从几何分布服从几何分布，并记pqpkG k 1 ),( =，其中3 , 2 , 1.1=kpq 5. 超几何分布超几何分布：对一般情形，一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的 分布如下表所示： X 0 1 2 l P 0n MN M n N

5、 C C C 11n MN M n N C C C 22n MN M n N C C C ln l MN M n N C C C 其中min( ,)ln M=网一般地，若一个随机变量X的分布列为() rn r MN M n N C C P Xr C =， 其中0r =，1，2，3，l，min( ,)ln M=，则称X服从超几何分布超几何分布，记为( ,)XH n M N，并将 学 海 无 涯 2 () rn r MN M n N C C P Xr C = ， 记为( ; ,)H r n M N 超几何分超几何分布的另一种形式布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件

6、(1na+b)，则次品数 的分布列为 nk C CC kP n ba kn b k a .2 , 1 , 0,)(= + . 超几何分布与二项分布的关系超几何分布与二项分布的关系: 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数 服从超几何分布。若放回式抽取，则 其中次品数的分布列可如下求得：把ba+个产品编号，则抽取 n 次共有 n ba)( +个可能结果，等可能：k)( =含 knkk n baC 个结果，故nk ba a ba a C C CC kP kn kk n n ba kn b k a .2 , 1 , 0,1)()(= + + = + ，即)( ba

7、 a nB + .(我们先为 k 个次品选定位置，共 k n C种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法)可以证明：当产品总数很 大而抽取个数不多时，k)P(k)P(=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 1. 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每 球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和.(1)求 X 的分布列；(2)求 X 的数学期望 E(X). 2. 一盒零件中有 9 个正品和 3 个次品，每次取一个零件，如果取出

8、的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 X的概率分布。 3. 一批产品共 10 件，其中 7 件正品，3 件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得 正品时所需次数的概率分别布. (1) 每次取出的产品不再放回去； (2) 每次取出的产品仍放回去； (3) 每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中. 学 海 无 涯 3 二、数学期望与方差二、数学期望与方差. 1. 期望的含义期望的含义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为 1 x 2 x i x P 1 p 2 p i p 则称+= nnp xpxpxE 2211 为 的数学期望或平均数、均值.数学

9、期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变 量取值的平均水平. 2. 随机变量随机变量ba +=的数学期望的数学期望：baEbaEE+=+=)( 当0=a时，bbE=)(，即常数的数学期望就是这个常数本身. 当1=a时，bEbE+=+)(，即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与这个常数的和. 当0=b时，aEaE=)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. 单点分布单点分布：ccE=1其分布列为：cP= ) 1(. 两点分布两点分布：ppqE=+=10，其分布列为： （p + q = 1） 二项分布二项分布： = = npqp knk n kE knk )!( !

10、! 其分布列为),(pnB.（P 为发生的概率） 几何分布几何分布： p E 1 = 其分布列为),(pkq.（P 为发生的概率） 3. 方 差 、 标 准 差 的 定 义方 差 、 标 准 差 的 定 义 ： 当 已 知 随 机 变 量的 分 布 列 为), 2 , 1()(=kpxP kk 时 ， 则 称 += nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 )()()(为 的方差. 显然0D， 故 .D=为 的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小 . 4. 方差的性质方差的性质. 随机变量随机变量

11、 ba += 的方差的方差DabaDD 2 )()(=+=.（a、b 均为常数） 单点分布单点分布：0=D 其分布列为pP= ) 1( 两点分布两点分布：pqD= 其分布列为： （p + q = 1） 二项分布二项分布：npqD= 几何分布几何分布： 2 p q D= 5. 期望与方差的关系期望与方差的关系. 如果E和E都存在，则EEE= )( 设 和是互相独立的两个随机变量，则DDDEEE+=+=)(,)( 期望与方差的转化： 22 )(EED= )()()(EEEEE=（因为E为一常数）0=EE. 三、正态分布三、正态分布 1. 正态分布与正态曲线正态分布与正态曲线：如果随机变量 的概率密

12、度为： 2 2 2 )( 2 1 )( = x exf. （,Rx为常数，且0） ，称 服从参数为,的正态分布，用),( 2 N表示.)(xf的表达式可简记为),( 2 N，它的密度曲线简称为正态曲线. 正态分布的期望与方差正态分布的期望与方差：若),( 2 N，则 的期望与方差分别为： 2 ,=DE. 正态曲线的性质正态曲线的性质. 曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交. 曲线关于直线=x对称. 当=x时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. 当x时，曲线上升；当x时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，

13、向 x 轴无限的靠近. 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中. 0 1 P q p 0 1 P q p x y a 标准正态分布曲线 S阴=0.5Sa=0.5+S S 学 海 无 涯 4 3. “3”原则原则: 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布 ),( 2 N.确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(+.做出判断： 如果)3,3(+a， 接受统计假设. 如果)3,3(+a，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. “3”原则的应用原则的应用：若随机

14、变量 服从正态分布),( 2 N则 落在)3,3(+内的概率为 99.7 亦即落在 )3,3(+之外的概率为 0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即 不服从正态 分布）. 四、四、解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 (1) 明确随机变量可能取哪些值； (2) 结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值； (3) 根据分布列和期望、方差公式求解 五、常考题型五、常考题型 题型题型一一 与超几何分布有关的离散型随机变量的分布列与期望与超几何分布有关的离散型随机变量的分布列与期望 1. 为推动乒乓球运动

15、的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种 子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 (1) 设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率； (2) 设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 2. 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片， 其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3， 从盒中任取 3 张卡片. （1）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求X的分布列（注： 若三个数cba,满足cba，则称b为这三个数的中位数）. 学 海 无 涯 5 题型题型二二 与互斥、独立事件有关的离散型随与互斥、独立事件有关的离散型随机变量的分布列与期望机变量的分布列与期望 1. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比 赛假设每局甲获胜