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1、二叉树模型,Investment Analysis and Portfolio Management,1 单步二叉树模型,假设一种股票当前价格为$20 ，我们知道3个月后的价格将可能为$22 或$18 。 我们打算对3 个月后以$21 执行价格买人股票的欧式看涨期权进行估值。3 个月后期权价值是如下两个值之一：若到时股票价格为$22 ，期权的价值将是$1; 若股票价格为$18 ，期权的价值将是0。,考虑一种有价证券组合，该组合包含一个股股票多头和一个股票看涨期权的空头。 我们将计算构造无风险组合时的 值。如果股票价格从$20 上升到$22时，股票的价值为22 ，期权的价值为$1 ，所以该证券组
2、合的总价值为22 -1; 如果股票价格从$20 下降到$18 时，股票的价值为18 ，期权的价值为零，该证券组合的总价值为18 。 如果选取某个 值，以使得该组合的终值对两个股票价格都是相等的，则该组合就是无风险的。这意味着:,在无套利机会的情况下，无风险证券组合的收益必定为无风险利率。假设在这种情况下，无风险利率为每年12%。因此我们知道今天该组合的价值一定是$4.5 的现值，即: 今天的股票价格己知为$20。假设期权的价格由f来表示。因此今天该组合的价值为: 20 x 0.25 - f = 5 f 于是 5 - f= 4.367,一般结论,考虑一个价格为S0的股票，基于该股票的某期权的当前
3、价格为f， 在这样的条件下，我们可将以上所得结论推广到一般情形： 假设期权在时刻T 到期，并且在期权有效期内，股票价格 或从S0 向上运动到一个新的水平S0u (其中,u1) 或从S0 向下运动到新的水平S0d（其中,d 1) 当股票价格向上运动时，股票价格增长的比率为u-1 当股票价格向下运动时，股票价格减少的比率为1-d。 如果股票价格运动到S0u ， 我们假设期权的损益为fu; 如果股票价格运动到S0d ， 我们假设期权的损益为fd,想像一个证券组合由 股股票多头和一个期权空头来组成。我们计算了使得该组合为无风险状态时的 值。如果股票价格上升，期权有效期末该组合的价值为: 如果股票价格下
4、降，组合的价值为: 当二者价值相等时: 即 (1),在这种情况下，该组合是无风险的，收益一定是无风险利率。公式(1 )说明，当我们在T 时刻的两个节点之间运动时，是期权价格变化与股票价格变化之比。 如果无风险利率用r 来表示，该组合的现值一定是: 而构造该组合的成本是: 因此 即 将公式(1)中的 代入化简得 (2) 其中 (3),再考虑前面的数值例子, u = 1.1, d = 0.9 , r = 0.12, T = 0.25 ,fu= 1 和fd=0。从式(3)可得: 从式(B) 可得:,股票预期收益的无关性,期权定价公式(2) 没有用到股票上升和下降的概率。例如，当上升概率是0.5时，我
5、们得到的欧式期权价格与上升概率为0.9 时得到的欧式期权价格相等。 这一点令人惊讶且违备常理。人们很自然假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期极价值也增加，基于该股票的看跌期权的价值则减少，其实情况并非如此。 该问题的关键是:我们并不是按绝对价值为期权估值。我们只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明:当根据股票价格为期权估值时，我们不需要再考虑股票价格上升和下降的概率。,2 风险中性估值,虽然我们不需要对股票价格上升和下 降的概率做任何假设，就推导出公式(2) 如果将公式(2) 中的变量p 解释为股票价格上升的概率，于是变量l-p
6、就是股票价格下降的概率。表达式: 则是期权的预期收益。按照这种对p 的解释，于是公式(2) 可以表述为:期权现价是其未来预期值按无风险利率贴现的值。 当上升概率假设为p 时，T 时刻预期的股票价格E(ST) 由下式给出: 即 将式(3)中的p 代人上式，化简得: (4) 该式说明，平均来说股票价格以无风险利率增长。因此，假定上升概率等于p 就是等价于假设股票收益等于无风险利率。,我们把所有人对于风险都是无差异的世界称为风险中性世界(Risk Neutral World)。在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收益都是无风险利率。公式(4 )说明:当我们假定上升概率为p 时，我们
7、就在假设一个风险中性世界。公式(2)说明:期权的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。 期权估值中的所谓风险中性估值原理是一个重要的一般原理，而以上的结果只是这个原理的一个例子。这说明我们可以完全放心地假设:当为期权估值时，世界是风险中性的。我们得到的价格不仅仅在风险中性世界中是正确的，在其它世界中也是正确的。,风险中性估值和无套利理论,回顾前例： 股票现价为$20，3 个月末股票价格可能上涨到$22 或下降到$18。所考虑的期权是一份执行价格为$21 、有效期为3 个月的欧式看涨期权。无风险利率是12%。 我们说过，在风险中性世界中，股票价格上升变动的概率是p 。在这样的世界
8、中，股票的预期收益率一定等于无风险利率12%。这意味着p 一定满足: 则p 一定为0.6523 。 在3 个月末，看涨期权价值为$1的概率为0.6523 ，价值为零的概率为0.34770, 因此，看涨期权的期望值为: 0.6523 x 1 + 0.3477 x 0 = $0.6523 风险中性世界中用无风险利率贴现。该期权今天的价值,现实世界与风险中性世界,必须强调， p 是在一个风险中性世界中股价上升的概率，而在现实世界中事实并不一定这样。例子中p = 0.6523 ，当价格上升的概率为0.6523的时候，股票和期权的预期收益率都等于无风险利率12%。假设在现实世界中股票的预期收益率为16%
9、 ， p*是股票价格上升的概率。则有 因此，现实世界中期权的预期损益为 不幸的是，现实世界中很难确定能适用于该预期收益的准确贴现率。持有看涨期权头寸比持有相应股票的头寸风险更大，所以用来贴现看涨期权损益的贴现率应该高于16% 。不知道期权价值的情况下，我们也不知道这个贴现率应该比16%高多少。（因为该期权的准确价值为0.633 ，我们可以推导出准确的贴现率应该是42.58% 。因为0.633 =0.7041e-0.4258*3/12),3 两步二叉树图,两步树图的一般结论。初始股票价格为S0，在每个单步二叉树中，股票价格或上升到初始值的u 倍，或下降到初始值的d 倍。期权价值的符号表示在树图中
10、(例如，在两次上升运动后，衍生证券的价值为fuu)。我们假设无风险利率是r，每个单步二叉树的时间长度是t年。现在，时间单步的长度为t 而不是T，式(2) 和式(3 )变成: ,(10),4 看跌期权的例子,u = 1.2, d = 0,t = 1,r= 0.05 ，根据公式(5) ，风险中性概率p 的值为: 最后股票的可能价格为$72 、$48 和$32。在这种情况下，fuu= 0 ，fud= 4, fdd =20 ，利用公式(6) ，有: 看跌期权的价值是$4.1 923 0 利用公式(1) 并从每个单步二叉树倒推，也可以得到这个结果。下图 表示了所计算的期权价格。,5 美式期权,美式期权进
11、行估值。方法是从树末端向起点倒推计算，在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的美式期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较前的一些节点，期权的价值是取如下两者之中较大者: 1.由公式(5) 求出的值 2. 提前执行所得的收益,上图说明了，如果所考虑的期权是美式的而不是欧式的，会发生什么变化。当然股票价格和它们的概率不会变化。在最后节点的期权价值也没有变化。在节点B ，公式(5) 给出期权的价值为$1.4147 ，而提前执行期权的损益为负值(-8) 。很清楚，在节点B 提前执行不是明智的，在这个节点的期权价值为1.4147 。 在节点C ，公式(5) 给出期权的价值为$9.4636
12、，而提前执行期权的损益为$12。在这种情况下提前执行是最佳的因此期权的价值为$12 。在初始节点A ，公式(5) 给出的期权价值为: 而提前执行的价值为$2.0。在这种情况下，提前执行是不明智的。因此期权的价值为$5.0894 0,6 Delta值,股票期权的delta 是股票期权价格的变化与标的股票价格的变化之比。 delta 是一个数字，即为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数量。它与前面引入的是相同的。 构造无风险对冲有时就称之为delta 对冲。看涨期权的delta 是正值，而看跌期权的delta 是负值。,7 用u 和d 计算波动率,假定股票的预期收益(现
13、实世界中)为，而其波动率为 (a) 给出了二叉树图中第一步股票价格的变动。该步的长度为t,，起始股票价格S0 上升到S0u 或下降到S0d，假定价格上升的概率(现实世界中)为p* 第一个时间步结束之时的预期股票价格为 而树图中此时的预期股价为 为了匹配树图参数表示的预期股票收益，下式应当成立: 即 （11）,股票价格的波动率 应该使t等于较短时间长度t内股票价格收益的标准方差。等价的条件是，收益的方差为 2t （作为结论接受） 图(a) 中的树图中，股价收益的方差为 为了匹配树图参数表示的股价波动率，下式应当成立: （12） 式(11)代人式(12) ，得 一个解为 Cox 、Ross 和Ro
14、binstein (1 979) 提出的匹配波动率的u 、d 值,利用前面的分析，我们可以将图 (a) 中的树图替换成图 (b)中的树图。新的树图中，上升的慨率为p ， 并假定是风险中性世界。根据公式(6) 可以计算p 值如下: 其中 这是上升的风险中性概率。在图 (b) 中，时间步结束之时的预期股价为 如公式(4 )所示。股票价格收益的方差为 代人式(13 )和式(14) 中的u 和d ， 并忽略t2及其高阶项，可知上式等于,说明：当我们从现实世界切换到风险中性世界的时候，股票的预期收益有变化，但是其波动率保持不变(至少在t 趋近于零的时候)。 Girsanov 定理一个重要的一般结论。 当
15、我们从具有某种风险偏好集合的世界移到具有另外一种风险偏好集合的世界的时候，变量的预期增长率会有变化，但其波动率保持不变。 从一种风险偏好的世界移到另外一种风险偏好的世界，有时被称为测度变换(change the measure) 。现实世界测度有时被称为P 测度(P-measure) ，而风险中性世界测度被称为Q 测度( Q-measure) 。,再次考虑美式看跌期权的例子，股价为$50 ，执行价格为$52 ，无风险利率为5% ，期权的有效期限为2 年，有两个时间步。此时，t =1假定波动率为30%。根据公式(13)-公式(16) ，可得: 因此,8 增加树图中的步数,实际应用二叉树图方法时，
16、通常将期权有效期分成30 或更多的时间步。在每一个时间步，就有一个单个二叉树股票价格变动。30 个时间步意味着最后有31 个终端股票价格，并且230即大约有10 亿个可能的股票价格路径。 不管有多少时间步，都可以使用公式(13)-公式(16) 决定相应的二叉树图 假定上图中的例子中有5 个时间步而不是2 个。那么参数应该是t = 2/5 = 0.4, r =0.05 且= 0.3。那么，我们可以计算出 =1.2089 , d=1/1.2089 =0.8272 ，a=e0.05*0.4 ，以及p=（1.0202-0.8272）/（1.2089-0.8272）=0.5056,除了计算p 的公式变化之外，方法和股票期权的分析方法相同 支付连续红利收益的股票的期权 考虑支付己知红利收益率q 的股票。在风险中性世界，红利与资本利润带来的总收益率为r。
