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1、距离问题,距离问题,一、知识概念,1.距离定义 （1）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离。 （2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离。 （3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离。,（4）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。 （5）直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线
2、和平面的距离。 （6）两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。,作：作或找出点到平面的垂线段,证：该垂线段与平面垂直,指：该垂线段的长度即为点到平面距离,算：解三角形或算出距离,2.直接法求距离的步骤(点面距为例),间接转化法,对称点转化法,平行线转化法,等积转化法,3.间接转化法求距离,点线,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,H,已知：长方体AC1中，AB=2，AA1=AD=1,求点C1到BD的距离？,C1H=,用三垂线定理求点线距解直角三角形简单 线相当于棱,在600二面角M-N内有一点
3、P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P到直线a距离。,解：设PA，PB分别垂直平面M，平面N, PA，PB所确定的平面为,且平面交直线a与Q，,点线,点面,从平面外一点引这个平面的垂线,垂足叫做点在这个平面内的射影,这个点和垂足间的距离叫做,点到平面的距离,线面垂直,点的射影,点面距离,已知长方体 中， ， ， 求点 到平面 的距离。,法二:等积转化,变题 已知长方体 中， ， ， 求点 到平面 的距离。,例题：已知一条直线 l 和一个平面平行， 求证：直线 l 上各点到平面的距离相等,A,A,B,B,l,线面,一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的
4、距离,l,A,A,B,如果一条直线上有两个点到平面的距离 相等，则这条直线和平面平行吗？,已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离 分别为3cm和5cm，求AB中点到平面的距离,4或1,空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D 距离相等的平面有几个？,A,B,C,D,4,空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D 距离相等的平面有几个？,A,B,C,D,A,B,C,D,4,3,已知正方形 , 面 ,且 ,G、H分别为AB、AD的中点,则GH到平面PBD的距离是_.,线面,A,B,C,D,P,F,E,已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是 AD，AB的中点，PC面ABCD，PC=2， 求点
5、B到平面PEF的距离？,G,O,H,点线,点面,线面,已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，PC垂直平面ABCD，且PC=2，求点B到平面EFP的距离。,解：连AC，BD，设交于O,设AC交EF于H,O,H,连PH,因为BD平面PEF，所以求B到平面的距离，可转化为求BD到平面的距离,过O作OK平面PEF，可证明OK就是所要求的距离,K,此时，得用OKHPCH，容易求得 OK的值。,平行转化法 等积法；,如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD = DC = a，E为PC的中点. 求点P到平面BDE的距离.,A,B,C,D,P,E,O,
6、面与面,思考:在边长为1的正方体 中,M,N,E,F分别,是棱 的中点.,(1)求证:平面 面 ;,(2)求:平面 与面 的距离.,球面上两点的球面距离：,求法： 利用定义求出经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.,为OAB的大小， R为球的半径.,计算A、B两点间的球面距离步骤: 计算线段AB的长度; 计算A、B到球心O的张角; 计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长.,如图，边长为 的正三角形 ， 分别为,的中点， 面 且长度为2,若 为 的,中点,求点 到平面 的距离.,课外练习,如图, 是 边长为1的正三角形 的中线,将,绕 旋转到 ,而 不动,使二面角,为 ,求点 到旋转后形成的
7、平面 的距离.,直角三角形ACB确定平面 ，点P在平面 外， 若点P到直角顶点C的距离是24，到两直角边的 距离都是6 ，求点P到平面 的距离？,P,A,B,C,E,F,O,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,(1)A到CD1的距离,D,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,(1)A到CD1的距离,D,(2)A到BD1的距离,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,(1)A到CD1的距离,D,(2)A到BD1的距离,(3)A到面A1B1CD,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,(1)A到CD1的距离,D,(2)A到BD1的距离,(3)A到面A1B1CD,(4)A到平面BB1D1,例2：菱形ABCD中，BAD=600，AB=10，PA平面ABCD，且PA=5，求： （1）P到CD的距离 （2）P到BD的距离 （3）P到AD的距离 （4）求PC的中点到 平面PAD的距离,(1)过P作CD的垂线，交CD的延长线于E，连AE,E,(2)连BD，交AC于O，连PO,O,
