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1、2020浙江省杭州市第二中学高三（上）数学开学考试试题（含解析）一.选择题：本大题共10小题，共40分1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。2.设 均为单位向量，则“夹角为”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由向量的模长公式结合充要条件判断即可【详解】因为 均为单位向量若夹角为，则，因此，由“夹角为”不能推出“”；若，则解得，即夹角为，所以，由“”不能推出“夹角为”因此，“夹角为”是“”的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断
2、，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型3.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由诱导公式结合二倍角公式求解即可【详解】= 故选：C【点睛】本题考查诱导公式及二倍角公式，准确计算是关键，是基础题4.已知，是奇函数，直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递减增【答案】A【解析】【分析】根据函数是奇函数，得又由图像的两个相邻交点的横坐标之差得周期，从而可求出函数的解析式，进而求解.【详解】因为是奇函数，所以 所以；又由已
3、知得 所以 所以由函数的解析式可知在上单调递减。故选A.【点睛】本题考查三角函数周期性和奇偶性，属于基础题.5.已知等比数列的各项均为正数，且，成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易得，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.【详解】设公比为.由，成等差数列，可得，所以，则，解(舍去)或.所以.故选A.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.6.若对，有，求的最大值与最小值之和是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】先求出的值,再根据函数对称性的定义
4、判断出函数图象关于点对称,即最大值与最小值也关于对称,从而最大值与最小值的和为;再根据函数的奇偶性的定义判断出为奇函数,即函数图象关于点对称,即最大值与最小值也关于对称,从而最大值与最小值的和为得出选项.【详解】令,则,即为奇函数,图象关于原点对称,因此最大值与最小值的和为;令,可得,令则,可得,即函数图象关于点对称,故最大值与最小值的和为,综上所述,函数的最大值与最小值之和为,故选B.点睛:本题考查抽象函数和具体函数的性质,属于中档题.抽象函数的性质主要利用赋值法来判断。7.设的内角所对的边分别为，且，已知的面积，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】变形，结合可得
5、，求出，由三角形的面积可得，再根据正弦定理可得结果.【详解】由得，由正弦定理，得，由，由，又根据正弦定理，得，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.8.如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是（ ）A. 0B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则表示，再由数量积的运算法则将转化成关于的二次函
6、数，求得最小值.【详解】由已知得设，所以= 所以当 有最小值 故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键要将待求的向量表示成已知向量的线性运算，属于中档题.9.设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.【详解】当时，的最小值是由知当时，的最小值是当时，的最小值是要使，则，解得：或 故选D.【点睛】本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.10.已知，且函数若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.
7、 D. 【答案】C【解析】【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解.【详解】当时，且所以，此时化为，即，所以在不是恒成立的.故A、B不对；当时，当时，所以，此时化成，即满足恒成立，所以当时成立，故D不对，C正确；故选C.【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.二.填空题：本大题共7小题，共42分11.抛物线的焦点在直线2mx+my+1=0上，则m=_【答案】【解析】【详解】解析：因抛物线的焦点为，故代入直线方程中可得，应填答案。12.已知，则的取值范
8、围是_【答案】【解析】【分析】根据指数运算法则化简，再由已知代数式表示待求的代数式，并且利用不等式的性质求出的范围，最后运用指数函数的单调性得解.【详解】由，设 则 所以由已知得即所以即故答案为2,128.【点睛】本题考查不等式的性质和指数运算以及指数函数的单调性，属于中档题.13.设，是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是_【答案】8【解析】【分析】由韦达定理将表示成关于的函数，注意根据判别式得出的范围，从而求出最小值.【详解】由已知得，且或 所以当时，得到最小值8.故答案为：8.【点睛】本题考查一元二次方程的韦达定理和二次函数的最值，属于中档题.14.已知将函数的图象向右平移个单位长
9、度得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则_.【答案】【解析】【分析】根据左右平移可得解析式；利用对称性可得关于和的方程组；结合和的取值范围可分别求出和的值，从而得到结果.【详解】由题意知：和的图象都关于对称，解得：， 又 本题正确结果：【点睛】本题考查三角函数的平移变换、根据三角函数对称性求解函数解析式的问题，关键是能够根据正弦型函数对称轴的求解方法构造出方程组.15.已知为坐标原点，是双曲线：的左焦点，分别为双曲线的左.右顶点，为双曲线上的一点，且轴，过点的直线与线段交于，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_【答案】2【解析】【分析】根据相似三角形的边的比例关系得到关于的关
10、系式，求得离心率.【详解】设点的纵坐标为，由相似三角形性质得： 所以又因为，所以解得故答案为2.【点睛】本题考查双曲线的离心率，关键在于利用几何关系得到关于的方程，此题属于中档题.16.如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由已知可得到的距离，再利用勾股定理知要使取得最小值，则需取得最小值，此时利用点到直线的距离可得解.【详解】由已知得四面体体积 所以设到的距离为，则解得所以在底面内（不包括边界）与平行且距离为的线段 上，要使的最小，则此时是过作的垂线的垂足.点到的距离为所以此时故答案为.【点睛】本题考查立体几何
11、的动点最值问题，将空间立体问题转化为平面问题是解题的关键，属于难度题.17.已知正项数列满足，则数列的前项和为_【答案】【解析】【分析】由已知表达式因式分解得到数列的递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式裂项，利用裂项相消求和得解.【详解】由已知得所以又因 所以所以所以； 累乘得所以所以=所以累加求和得故答案为【点睛】本题关键将已知表达式因式分解得递推式，再运用累乘和裂项相消求和的方法求解，属于难题.三.解答题：本大题共5小题，共68分18.设命题:实数满足；命题：实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若,且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)
12、【解析】分析】（1）P为真时，q为真时，求交集即得解；（2）先求出和，再列出不等式组，即得m的取值范围.【详解】解：（1）由得; 当时，即P为真时，由得，即，即q为真时，因为为真，则p真q真，所以 （2）由得；，又，所以mx3m,由得，即；设，若的充分不必要条件则A是B 的真子集，所以即【点睛】本题主要考查不等式的解法和复合命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.在中,角所对的边分别为,满足（1）求的值；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求，利用同角
13、三角函数基本关系式可求的值（2）由（1）可求，又由，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求的范围【详解】（1）因为所以，即因为，所以又因为解得：.（2），可得，由余弦定理可得：，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题20.如图，四棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.（）求证：平面；（）求平面与平面所成二面角的大小.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：（I）易知，故平面.（II）连接交于，以建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法
14、向量计算的二面角的大小为.试题解析：解：（） 因为，是的中点.所以，且，四边形是平行四边形，所以.平面，平面所以平面.（）连接,设交于,连,则四边形是正方形，所以.因为,是中点,所以.则,又.所以是直角三角形,则；因为,所以平面.如图建立空间坐标系，则，.所以.设是平面的法向量，则，取，则，所以.是平面的法向量，. 取，则.所以,所以平面与平面所成二面角是90.21.设、分别是椭圆C：的左、右焦点，直线1过且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、，所组成的三角形为等边三角形。（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使成立？若存在，求出点P的坐标
