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1、1,用Laurent级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得,步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域；,2.在包含积分路径C的解析环域里将函数展成Laurent级数,因此，我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。,2,留数和留数定理,一、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数,3,.,的某去心邻域,一 、留数的定义和计算,定义,4,计算留数,5,0,(高阶导数公式),0 (柯西积分定理),6,即,7,计算留数的一般公式,（1）若z0为函数f(z)的可去奇点，则它在点z0的留数为零。,当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若g()为偶函数
2、，则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含 z-z0的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知,8,规则1o 若z0为f(z)的一阶极点，则有,规则2o 若z0为f(z) 的n阶极点，则对任意整数 有,9,规则3,如果,的一级极点,且有,10,为 的一级极点,证,11,典型例题,解,12,分析,由规则2得,计算较麻烦.,13,如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便：,解,14,说明:,如 为m级极点，当m 较大而导数又难以计算时,可直接展开Laurent级数求c-1来计算留数。,2. 在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高能够使得计算方便.,1. 在实际计算中应灵活运用计
3、算规则.,为了计算方便一般要将m,因为有时把m取得比实际的,如上例取,15,例3求下列函数在指定点处的留数 (1) , ;,于是它是 的四级极点,可用规则 计算其留数,其中n=4,为了计算简便应当取其中m=5,这时有,16,另解： 在点 的去心邻域 内的Laurent级数为,例3求下列函数在指定点处的留数 (1) , ;,其中n=4的项的系数为c-1=1/4!, 从而也有,17,(2) , ;,解： 在点 的去心邻域 内的Laurent级数为,显然 为它的本性奇点,其中 的项的系数为 ,于是得,18,注,留数定理将沿封闭曲线C 积分转化为求,被积函数在C内各孤立奇点处的留数.,留数定理,点的一
4、条正向简单闭曲线,奇点z1,z2,zn外处处解析,函数 f(z) 在区域 D 内除有限个孤立,C 是D 内包围诸奇,那末,二、留数定理,19,证明 首先在C的内部，环绕f(z)的每个奇点zk作互 不相交且互不包含的正向小圆周Ck,根据积分路径的复闭路定理得,由定义1，,所证等式成立。,20,解,被积函数 的奇点 （一级极点）和 （二级极点）都在圆 的内部,并且,21,22,例2. 计算积分,解： 在圆 的内部有一个二级极点 和两个一级极点 ,于是利用留数的计算规则 和 得,23,最后由留数定理得其积分值为,24,解,由规则3,25,例4 计算积分,C 为正向圆周 :,解,除,被积函数,点外无其
5、他奇点，,在圆外。,26,所以,27,的某去心邻域,内的任一条正向简单闭曲线C:,一 、函数在无穷远点的留数及计算,定义,28,函数 f(z) 在扩充复平面上 只有有限个孤立,推广的留数定理,29,定理 若函数f(z)在环域 内解析，则对包 含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线C有,证明： 设f(z)在所给环域 内的Laurent级数为,由Laurent级数展开定理，则有,30,定理 若函数f(z)在环域 内解析，则对包含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线C有,作变换 ， 在点 的去心邻域 内解析，且在该邻域内有,31,例5 计算下列积分,其中积分闭路取正向. (1),解：被积函数 在环域 内
6、解析,它的7个奇点都在圆周 的内部,用定理1计算非常困难,可是该积分满足定理2的条件,利用定理2得,32,例5 计算下列积分,其中积分闭路取正向. (2),解：被积函数 在环域内 解析,其奇点为 , ,其中 ,显然这些奇点有无穷多个,它们都在圆周 的内部,不能用定理1计算其积分值;可是该积分函数满足定理2条件,于是由定理2得,33,1 若z0为函数f(z) 的可去奇点（负幂项的项数为零个）, 则它在点z0的留数为零。,留数的计算,3 若z0为f(z) 的一级极点，则有,4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 有,34,5 设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。 若 ，Q(z0)=0且 ，则z0为f(z) 的一级 极点，且有,6 由Laurent级数展开定理，留数等于f(z)在环域 内Laurent级数的负一次幂系数c-1,35,留数定理,定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析， 在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,zn外解析，则 有,定理2 若函数f(z)在环域 内解析，则对 包含圆|z|=R的任一条正向简单闭曲线C有,
