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1、第十五章 电路方程的矩阵形式,2,15-1 割集,把 Q 中全部支路移去，原图被分离成二个部分；,1. 割集 Q 的定义 在图G中做一个闭合面，与闭合面相切割的支路的集合Q，若同时满足以下两个条件，称该支路的集合为图G的割集：,少移去其中任一支路时，原图依然连通。,Q,(a, d, f )这个支路集合就是 G的一个割集。,割集不唯一，一个连通图有许多不同的割集。,3,例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？,结论：汇集于同一结点的支路都是G的一个割集。,特点：全移，G一分为二 少移一条，G连通。,4,例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？,(b, d, e, f )是,(a, b, c,
2、 d ) 也是,(a, e, f ) 也是,特点：全移，G一分为二 少移一条，G连通。,5,例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？,(a, d, e, f )不是G的割集。,少移去e，G仍为两部分，,(a, b, c, d ,e )不是G的割集,全移，G被分为三部分，,特点：全移，G一分为二 少移一条，G连通。,6,通常对于一定的电路，可以选择许多不同的割集。但在用割集电压求解时，只有一组独立的割集电压方程才有意义。因此，与选择独立回路相类似，实际应用中往往要选择一组独立割集。,KCL适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL，若一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，割
3、集的KCL方程即为结点上的KCL方程。与一组线性独立的KCL方程相对应的割集，称为独立割集。对较大规模的电路，用观察法选择一组独立割集是困难的，借助于树，就比较方便。,7,2. 基本割集(单树支割集),一个树支加相应的连支构成的割集。,如图所示连通图G，选取支路2，3，5为树，则Q1(1，2，6)、Q2 (1，3，4)、Q3 (4，5，6)为对应的基本割集,对于具有 n个结点 b条支路的连通图，树支数为 (n-1) 条。因此有(n-1)个单树支割集，称为基本割集组。,8,基本割集的性质,割集1：,割集2：,割集3：,这三个方程是相互独立的，因为每个方程中含有一个不同的树支电流，其中任一个方程不
4、可能通过其他方程的线性组合求得。,因此称基本割集是一组独立割集。如果对全部基本割集列写KCL方程，则它们是独立的KCL方程。,但独立割集不一定是单树支割集 ( 就象独立回路不一定是单连支回路一样 )。,9,树支为2,3,4,6时的基本割集组,Q1,Q1 (1,2,5,7,8),Q2 (1,3,5,8),Q3 (1,4,5),Q4 (5,6,7,8),注意：同一个图，有许多不同的树，因此能选出许多不同的基本割集组。,树支为5,6,7,8时的基本割集组,同一图，能选出若干基本割集组,10,连支集合不能构成割集。,属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。,注意：,剩下的树支是连通的，不能分离成二个
5、部分,KCL适用于任一闭合面,这是为什么呢？,这又是为什么呢？,割集的方向可任意设为 从封闭面由里指向外，或 者由外指向里。如果是基 本割集组，一般选取树支 的方向为对应割集的方向。,割集是有方向的。,11,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,研究系统化建立方程的方法，且方程用矩阵形式表示。 图的矩阵表示：指用矩阵描述图的拓扑性质， 即KCL和KVL的矩阵形式。,有三种矩阵形式：,关联矩阵,回路矩阵,割集矩阵,哪三种?,12,1. 关联矩阵A,描述结点与支路的关联性质,每一行对应一个结点，,(1) 元素定义,ajk =,+1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点；,-1 支路 k 与结
6、点 j 关联，方向指向结点；,0 支路 k 与结点 j 无关。,Aa=,nb,n个结点b条支路的图用 nb 的矩阵Aa描述：,结 点 n,支路b,每一列对应一条支路。,13,例1：,Aa=,1 2 3 4 5 6,-1,-1,+1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,+1,+1,0,0,+1,+1,0,0,+1,0,0,-1,-1,每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个 是-1，Aa的每一列元素之和为零；,ajk：背离+1，指向-1，无关0。,支路,结点,注意其特点,矩阵中任一行可以从其他 n-1行中导出，即 只有n-1行是独立的。,？,按行列写,14,(2)降阶关联矩阵A,划去Aa中任意一
7、行，得到一个 (n-1)b 阶新矩阵。,特点: A的某些列只具有一个+1或一个-1。,A =,1 2 3 4 5 6,-1,-1,+1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,+1,+1,0,0,+1,+1,0,支路,结点,a,这就是降阶关联矩阵，用A表示。,(今后主要用A，简称关联矩阵),被划去的行对应的结点可以当作参考结点。,表征独立结点与支路的关联性质,15,(3)关联矩阵A的作用,设：支路电流列向量,Ai =,-1 -1 +1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0,i1 i2 i3 i4 i5 i6,=,-i1,-i3 - i4 + i6,+i1 + i4
8、 + i5,=,000,A i = 0,表示矩阵形式的KCL方程；,以结点为参考结点,- i2,+ i3,KCL的矩阵形式：,i = i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 T,16,0 1 0,用矩阵AT 表示矩阵形式的KVL方程。,设:支路电压u = u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 T,AT un,=,un1 un2 un3,-1 0 0,1 -1 0,取为参考结点，,结点电压与支路电压之间的关系为,结点的,电压列向量 un,= un1, un2 , un3 T,=,-un1+ un3,-un1,un1-un2,-un2 + un3,un3,un2,
9、u = AT un,矩阵形式的KVL：,=,结点电压 un= un1 , un2 , un3 ，un4 T,表明：各支路电压u可以用与该支路关联的两个结点的结点电压un表示。,-1 0 1,0 0 1,0 -1 1,17,例：已知某图的降阶关联矩阵如下：(1)画出对应的有向图。(2)支路1,2,3是否组成树?(3)支路2,3,5是否组成树？, 0 0 -1 0 1 0,支路1:与结点 关联, 背指；,支路2:与结点 关联, 背指；,支路3:与结点 关联, 背指；,补上被划去的行,1,2,3,4,5,6,是,否,树：a 连通 b 包含所有结点 c 不含闭合路径,18,2. 回路矩阵B,描述独立回
10、路与支路的关联性质,每一行对应一个独立回路，,B =,l b,独立回路 l,支路b,每一列对应一条支路。,(1)矩阵B的每一个元素定义为：,bjk =,+ 1, 支路 k 与回路 j 关联，且方向一致；,-1, 支路 k 与回路 j 关联，且方向相反；,0, 支路 k 不在回路 j 中(无关)。,19,例2：, ,1 2 3 4 5 6,0,1,1,0,0,1,0,0,0,-1,1,-1,1,-1,0,0,-1,0,B =,bjk：方向一致+1，方向相反-1，无关0。,取网孔为独立回路， 顺时针方向。,回路,支路,提示：给定 B 可以画出对应的有向图。,20,(2)基本回路矩阵Bf,选单连支的
11、回路构成的矩阵 。,单连支回路与支路间的关联关系,连支电流方向为回路电流方向；,连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列，,先连支后树支(或先树支后连支)；,写Bf时规定：,回路顺序与连支顺序一致。,21,Bf = 1l Bt ,例3：,1,0,0,-1,-1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,-1,1,bjk：方向一致为 1，方向相反为 -1，无关 为0。,选 2、5、6为树，连支顺序为1、3、4。,单位子矩阵,树支矩阵,22,(3)回路矩阵B的作用,用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程；,1 0 0 1 1 0,0 1 0 1 0 1,0 0 1 0 1 1,=,0 0 0,Bu
12、 =,设：支路电压列向量 u = u1 , u3 , u4 , u2 , u5 , u6 T,KVL的矩阵形式： Bu = 0,u1-u2- u5,u3+u2+ u6,u4-u5+ u6,=,l个独立KVL方程,先连支后树支,23,用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程,=,=,设:支路电流 列向量 i = i1 , i3 , i4 , i2 , i5 , i6 T,回路电流列向量 il = il1 , il2 , il3 T,KCL的矩阵形式：B T il = i,BT il=,表明：各支路电路i可以用与该支路关联的所有回路中的回路电流il表示。,24,3.割集矩阵Q,描述割集与支路的关联性
13、质,每一行对应一个割集,Q =,(n-1)b,割集数,支路b,每一列对应一条支路。,(1) 元素定义：,qjk=,+1,支路 k 与割集 j 关联，且方向一致；,-1, 支路 k 与割集 j 关联，且方向相反；,0,支路 k 不在割集 j 中(无关)。,(独立割集矩阵Q),25,(2)基本割集矩阵Qf,割集方向为树支方向；,规定,选单树支的割集构成的矩阵。,支路排列顺序先树支后连支；(或先连支后树支),割集顺序与树支次序一致。,26,qjk：方向一致+1，方向相反-1，无关0。,例4：选 3、5、6支路为树，写单树支割集矩阵Q。, 1t Ql ,1 0 0,0 1 0,0 0 1,-1 1 -
14、1,-1 0 -1,0 1 -1,3 5 6 1 2 4,27,(3)基本割集矩阵Qf的作用,属同一割集的所有支路的电流满足KCL。,=,用 Qf表示矩阵形式的KCL方程；,设： i = i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 T,i1+i4+i5,i2-i5-i6,i3+i4-i6,= 0,Qf,n-1个独立KCL方程。,矩阵形式的KCL： Qf i = 0,或 Q i = 0,28,用QfT表示矩阵形式的KVL方程。,Qf T ut =,ut1 ut2 ut3 ut1+ut3 ut1-ut2 -ut2-ut3,设树支电压(或基本割集电压)：,ut = ut1 ut2 ut3
15、T,=,= u,矩阵形式的KVL Qf Tut = u,注意：连支电压可以用树支电压表示。,29,小结,电流列向量 i = i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 T,支路电压列向量u = u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 T,结点电压列向量 un= un1 , un2 , un3 ，un4 T,回路电流列向量 il = il1 , il2 , il3 T,树支电压列向量ut = ut1 ut2 ut3T,30,15-4 回路电流方程的矩阵形式,目前在电路理论中还没有统一规定，但可以采用典型电路来分析，采用这种典型支路作为通用的电路模型可以简化分析,-复合
16、支路,反映元件性质的支路电压和 支路电流关系的矩阵形式。,因此需要规定一条支路的结构和内容,31,规定的标准支路,1.复合支路特点,k:第k条支路,. Uk :,第k条支路支路电压,. Ik:,第k条支路支路电流,. Usk :,第k条支路独立电压源,. Isk:,第k条支路独立电流源,Zk(Yk):第k条支路阻抗(导纳),(1)独立电压源和支路电压的方向相反； 独立电流源和支路电流的方向相反；,(2)支路电压与支路电流的方向关联；,(3)支路的阻抗(或导纳)只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合(方便编程)。,32,Zk =,注意：复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。,Rk,jLk,jCk,1,. Usk = 0,. Isk= 0,. Isk= 0,33,Zk(Yk) = 0，,. Usk = 0,Zk(Yk) = 0,. Isk= 0
