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1、第14章 电路的复频域分析,重点,1. 拉普拉斯变换的基本原理和性质,2. 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路 的方法和步骤,3. 电路的时域分析变换到频域分析 的原理,4. 复频域中的网络函数的概念与分析,14.1 拉普拉斯变换,1.傅里叶变换,一个周期函数f(t)可以表示为傅里叶级数（指数形式）,其中,Ck的幅度频谱和相位频谱是k1的函数，并且为离散线谱，其线间相距：,可见，,当T变大时， Ck以及1都将变小。,一.拉普拉斯变换的导出,但是,仍为有限值,于是可定义一个新的函数：,即,此式称为傅里叶积分或傅里叶变换，他把一个时间函数变成了频率函数,2.傅里叶反变换,由上述推导可得：,所以,此式称
2、为傅里叶反变换，他把一个频率函数变成时间函数,注意：在傅里叶变换中，函数f(t)应满足：,1、函数f(t)满足狄里赫利条件（a.在任一周期内，函数f(t) 连续或只有有限个第一类间断点；b.在任一周期内，函数f(t) 只有有限个极值。第一类间断点：若x是f(x)的间断点，但左极限f(x-0)和右极限f(x+0)都存在）。,2、函数f(t)绝对可积，即 为有限值。,观察,由于绝对可积的条件限制，某些增长函数，如eat(a0)的傅里叶变换不存在。,由于绝对可积的条件限制，某些不衰减函数，如正弦函数、阶跃函数等的傅里叶变换也不可直接求出。,为解决上述问题，引出拉普拉斯变换！,3. 拉普拉斯变换,于是
3、，傅里叶变换式可写成,在傅里叶变换中引入一个衰减因子，如e-t(为任意常数)，只要 选得足够大，则f(t)e-t就一定收敛，绝对可积条件就容易满足。,令,则有,此式称为推广的傅里叶变换,考虑到电路理论中，通常将换路时刻取为t=0,又考虑到f(t)可能包含冲激函数，所以，在上式中将积分下限取为0-,即得推广的傅里叶正变换：,此式称为拉普拉斯正变换，简称拉普拉斯变换。,在拉普拉斯变换中,f(t)称为原函数，F（S）称为象函数。,记为,s为复频率,注意：在拉普拉斯变换中，函数f(t)应满足：,1、函数f(t)满足狄里赫利条件。,4. 拉普拉斯反变换,即,此式称为拉普拉斯反变换,记为,根据傅里叶反变换
4、，有,拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。,1. 拉氏变换法,例,熟悉的变换,1 对数变换,把乘法运算变换为加法运算,二.拉普拉斯变换法的概念,2 相量法,把时域的正弦运算变换为复数运算,s为复频率,应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。,2. 拉氏变换的定义,正变换,反变换,t 0 , f(t)=0,今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含的冲击。,注,在t0 至t0 f(t)=(t)时此项 0,正变换,反变换,
5、1,如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：,则,总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。,3.典型函数的拉氏变换,(1)单位阶跃函数的象函数,(3)指数函数的象函数,(2)单位冲激函数的象函数,三、拉普拉斯变换的基本性质,1.线性性质,例1,解,例2,解,根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。,2. 微分性质,时域导数性质,例1,解,推广：,例2,解,频域导数性质,例1,解,例2,解,例3,解,3.积分性质,应用微分性质,例,解,注：考虑初值的积分性质,4.延迟性质,注,例1,例2,求
6、矩形脉冲的象函数,解,根据延迟性质,求三角波的象函数,解,求周期函数的拉氏变换,设f1(t)为第一周函数,例3,解,五.初值定理和终值定理,初值定理：,若f(t)在t = 0处无冲激，则,终值定理：,证：利用导数性质,例1,例2,已知,电路方程为,即,故,求初值和终值。,小结：,14.2 拉普拉斯反变换,用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。,(1)利用公式,(2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数,(3)把F(S)分解为简单项的组合,部分分式展开法,布罗米维奇积分,由象函数求原函数的方法：,象函数的一般形式：,零点影响F（S）的模，极点影
7、响F（S）的性质,利用部分分式可将F(s)分解为：,待定常数,1,待定常数的确定：,方法1,方法2,求极限的方法,例,解法1,解法2,原函数的一般形式：,一对共轭复根为一分解单元，设：,2,用单根方法确定：,由于K1,K2是一对共轭复根,可以证明：与一对共轭复根有关部分的反变换为：,例,解,方法二：配方法，根据,3,例,解,必须先使用长除法，将分子N（S）中的高次项提出，对余下满足nm的式子运用前面方法。,例,例,解,小结,1. n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和,由F(s)求f(t) 的步骤：,2. 求真分式分母的根，确定分解单元,3. 将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数,
8、4. 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。,相量形式,元件 复阻抗、复导纳,相量形式电路模型,14.3 运用拉普拉斯变换分析线性电路,基尔霍夫定律的时域表示：,基尔霍夫定律的相量表示：,相量法：,1.电路定律的运算形式,电路变量的运算形式：,元件 运算阻抗、运算导纳,运算形式的KCL、KVL,运算形式电路模型,运算法与相量法的基本思想类似：,把时间函数变换为对应的象函数,把微积分方程变换为以象函数为变量的线性代数方程,u=Ri,2.电路元件的运算形式,电阻R的运算形式,电阻的运算电路,电感L的运算形式,L的运算电路,注意电源的方向,电容C的运算形式,C的运算电路,注意电源的方向,耦合电感
9、的运算形式,耦合电感的运算电路,受控源的运算形式,受控源的运算电路,RLC串联电路的运算形式,运算阻抗,3.运算电路模型,时域电路,运算电路,运算形式 欧姆定律,1. 电压、电流用象函数形式表示,2. 元件用运算阻抗或运算导纳表示,3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示,例,给出图示电路的运算电路模型,uc(0-)=25V iL(0-)=5A,例,给出图示电路的运算电路模型,注意附加电源,计算步骤：,1. 由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) 。,2. 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示 和附加电源的作用。,3. 应用电路分析方法求象函数。,4. 反变换求原函数。,运算法小结,
10、例1,(2) 画运算电路,解,(1) 计算初值,(4)反变换求原函数,注意,求冲激响应,例2,解,t = 0时打开开关k ,求电流 i1, i2。已知：,例3,解,注意,总结：,1、运算法直接求得全响应,3、运算法分析动态电路的步骤：,2、用0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中,1)由换路前电路计算uc(0-) , iL(0-) 。,2)画运算电路图,3)应用电路分析方法求象函数。,4)反变换求原函数。,磁链守恒：,14.4 复频域中的网络函数,1. 网络函数H（s）的定义,在线性网络中，当无初始能量，且只有一个独立激励源作用时，网络中某一处响应的象函数与网络输入的象函数之比，叫做该响应的网
11、络函数。,例,电路激励i(t)=(t)，求冲击响应h(t)，即电容电压uC(t)。,注意,H(s)仅取决于网络的参数与结构，与输入E(s)无关，因此网络函数反映了网络中响应的基本特性。,驱动点函数,驱动点阻抗,驱动点导纳,2. 网络函数H(s)的物理意义,激励是电流源，响应是电压,激励是电压源，响应是电流,转移函数(传递函数),转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,激励是电压源,激励是电流源,3.网络函数的应用,由网络函数求取任意激励的零状态响应,例,解,由网函数确定正弦稳态响应,响应相量,激励相量,4.网络函数的极点和零点,(1)复平面（或s平面）,极点用“”表示 ，零点用“0”表示。
12、,。,零、极点分布图, ,例,绘出其极零点图,解,5.极点、零点与冲激响应,网络函数和冲激响应构成 一对拉氏变换对,k=-10,例,已知网络函数有两个极点分别在s=0和s=-1处，一个单零点在s=1处，且有 ，求H(s)和h(t）。,解,由已知的零、极点可知：,显然极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应的动态过程中自由分量的变化规律。,若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲击响应为, , , ,6. 极点、零点与频率响应,令网络函数H(s)中复频率s=j，分析H(j)随变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。,对于某一固定的角频率,幅频特性,相频特性,一个极点,例,解,定性分析RC串联电路以电压uC为输出时电路的频率响应。,用线段M1表示,低通特性,若以电压uR为输出时电路的频率响应为,
