电路分析的网络方程法课件

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1、第3章 电路分析的网络方程法,3.1 支路电流法 3.2 节点分析法 3.3 回路分析法 习题3,3.1 支 路 电 流 法,若以支路电流为电路变量， 通过KCL、 KVL和VCR列方程， 解方程求出各支路电流的方法，称为支路电流法。,设电路中有n个节点， b条支路， 可以证明， 由KCL可列出n-1个独立的电流方程。 由KVL可列出 b-(n-1)个独立的电压方程， 联立可得b个独立方程。 若把b-(n-1)个独立的电压方程中的电压用支路电流来表示， 则可得b个独立的电流方程， 然后解方程组就可求出各支路的电流。,例如， 电路如图3.1所示， 电路中有4个节点， 6条支路。 那么独立的KCL

2、方程应该为3个。 以任意3个节点列方程（若以a、 b、 c）得 i1-i2-i3=0 -i1-i4-i6=0 i3+i4+i5=0,（3-1）,图3.1 支路电流法,独立的KVL方程数为b-(n-1)个， 即为3个。 若以3个网孔作为基本回路， 并设各支路电压与电流为关联方向， 分别用u1, u2, u3, u4, u5和u6表示, 则有 u1+u3-u4=0 u2-u3+u5=0 u4-u5-u6=0,（3-2）,根据VCR， 各支路电流、 电压关系可表示为 u1=R1i1-us1, u2=R2i2, u3=R3i3, u4=R4i4, u5=R5i5, u6=R6i6 代入方程组（3-2）

3、得 R1i1+R3i3-R4i4=us1 R2i2-R3i3+R5i5=0 R4i4-R5i5-R6i6=0 （3-3）,方程组 （3-3）可归纳为 Rkik=usk （3-4）,例3.1 电路如图3.1所示， 若R1=4 , R2=1.5 , R3=2 , R4=8 , R5=4 , R6=20/9, us1=40 V。 例3.2 如图3.2(a)所示， 已知R1=2 , R2=6 , R3=3 , us1=8 V, us2=6 V, is3=3 A。 求各支路电流。,图 3.2 例3.2图,解 利用电源等效变换， 将图3.2(a)中R3与is3并联组合等效变换成R3与R3is3串联组合。

4、如图3.2(b)所示， 设各支路电流分别为i1, i2和i3。 根据支路电流法得 i1-i2-i3=0 R1i1+R3i3=us1-R3is3 R2i2-R3i3=R3is3+us2,将已知条件代入得 i1-i2-i3=0 2i1+3i3=8-33 6i2-3i3=33+6 解之得 i1=1 A, i2=2 A, i3=-1 A 还原到图3.2(a)所示的电路， 各支路电流为 ia=i1=1 A ib=i2=2 A ic=is3+i3=3+(-1)=2 A,图3.3 例3.3图,例3.3 如图3.3所示， 已知R1=4 , R2=6 , is=1 A, us1=20 V, us2=4 V。求各

5、支路的电流。 解 方法一： 图3.3中有3条支路， 由于电流源所在支路电流已知，故电路中有2条支路的电流未知， 设其为i1和i2。 根据KCL得独立方程为 i1-i2+is=0,根据KVL可知独立KVL方程应有2个， 但我们只需1个方程， 所以选最外回路列方程， 有 R1i1+R2i2=us1-us2 将已知条件代入上述两式得 i1-i2+1=0 4i1+6i2=20-4 解之得i1=1 A, i2=2 A,方法二： 因电流源两端电压无法用各支路电流来表示， 故设其为u。 根据支路电流法得 i1-i2+is=0 R1i1+u=us1 R2i2-u=-us2 解之得i1=1 A, i2=2 A,

6、 u=16 V,【思考与练习题】 1. 如图3.4所示的电路中， 试说明电路有几个节点， 几条支路， 能列几个独立的KCL和KVL电流方程。 2. 若电路中有b条支路， 则存在b个支路电流和b个支路电压， 以支路电流和支路电压为未知量列方程的分析方法称为2b法。 试试看， 以一个较简单的电路为例， 列一个2b方程。,图 3.4 题1图,3.2 节 点 分 析 法,3.2.1 节点分析法及其一般形式 在电路中任选某一节点做为参考节点， 其他节点与此参考节点之间的电压称为节点电压。 节点电压的参考极性规定参考节点为负， 其余独立节点为正。 节点电压法是以节点电压为未知量， 在独立节点上， 根据KC

7、L列出用节点电压表示的支路电流方程， 通过解方程组，求出节点电压， 借此再计算各支路电流的解题方法。,图3.5 节点分析法,以图3.5为例， 电路中有3个节点， 分别为0、 1、 2。 设节点0为参考节点， 节点1和节点2到参考节点的电压分别为u1和u2。 根据KCL， 可以列两个独立的电流方程 i1+i2=is1 -i2+i3+i4=0,各支路根据VCR可得,代入上式整理得,（3-5）,式（3-5）也可写成 (G1+G2)u1-G2u2=is1 -G2u1+(G2+G3+G4)u2=G4us4 （3-6） 方程组（3-6）就可以写成 G11u1+G12u2=is11 G21u1+G22u2=

8、is22 （3-7）,式（3-7）可以推广到多个节点的电路。 设电路中有n个节点， 则有n-1个节点电压， 其方程组形式为 G11u1+G12u2+ +G1(n-1)u(n-1)=is11 G21u1+G22u2+ +G2(n-1)u(n-1)=is22 G(n-1)1u1+G(n-1)2u2+ +G(n-1)(n-1)u(n-1)=is(n-1)(n-1) （3-8） 方程组（3-8）可写成通式， 对于第k个节点， 其节点电压方程为,（3-9）,3.2.2 应用节点电压法的解题步骤 应用节点电压法的解题步骤如下： （1） 确定参考节点及节点电压； （2） 确定各节点的自导和互导， 列出节点电

9、压方程； （3） 解方程求各节点电压； （4） 由节点电压及KVL和VCR关系求各支路电流或电压。,例3.4 电路如图3.5所示， 若已知R1=3 , R2=6 , R3=9 , R4=18 , is1=4 A, us4=81 V。试用节点电压法求各支路电流。 解 根据图中的节点电压u1, u2， 可列出节点电压方程组为,将已知条件代入得,解之得 u1=15 V, u2=21 V,各支路电流为,由上例可以看出： （1） 节点电压方程中的自导为该节点上各支路的电导之和， 恒为正； 互导为连接这两个节点的所有支路电导和的相反数， 恒为负。 如上例中， G11=1/R1+1/R2, G12=G21=

10、-1/R2。 （2） iskk代表第k个节点上电源流入节点的电流。 如上例中， is11=is1。,例3.5 如图3.6所示的电路， 试用节点电压法求电流ix。 解 方法一： 设节点0为参考节点， 则节点电压为u1和u2。 因为u1=u10=12 V， 所以只有u2为待求量， 列一个方程即可。,图3.6 例3.5图,节点2的节点电压方程为,解之得 u2=6 V 电流为,方法二： 设节点2为参考节点， 则节点电压为u0和u1， 12 V电压源上的电流为i， 则节点电压方程组为,两个节点间电压的关系为 u1-u0=12 V 联立解得 u0=-6 V, u1=6 V, i=6 A,电流为,例3.6

11、电路如图3.7所示， 求电流i1和i2。,图3.7 例3.6图,解 设节点0为参考节点， 那么， 节点电压为u1和u2。 节点1的节点电压方程为,由图3.7可得,联立上述各式， 解之得 i1=1.5 A, i2=3 A,【思考与练习题】 1. 如果电路中有n个节点， 可列几个独立的节点电压方程? 2. 若电路中存在两个节点0和1点， 设节点0为参考节点， 则节点电压为u1， 这时， 电路不存在互导， 其节点电压方程为G11u1=is11， 我们把这个结论称为弥尔曼定理。 试用此定理证明， 图3.8所示电路的节点电压为,图3.8 题2图,3.3 回 路 分 析 法,3.3.1 回路电流法及其一般

12、形式 在电路中， 以假想的回路电流为电路变量， 通过KVL列出用回路电流表示支路电压的独立回路电压方程， 解方程求出回路电流， 再利用回路电流求各支路电流及电压的分析方法， 称之为回路分析法(或回路电流法)。,图3.9 回路分析法,下面我们来看一下回路电流法的方程形式。 在图3.9所示的电路中， 根据KVL， 有,将 代入上式得,R1i1+R3(i1-i2)=us1-us3 R2i2-R3(i1-i2)=-us2+us3,若令R11=R1+R3, R22=R2+R3, R11和R22分别为回路和回路中所有电阻之和， 分别称其为自阻； 令R12=R21=-R3， R12和R21为回路和回路公有支

13、路电阻和的相反数， 称其为回路和回路的互阻； 令us11=us1-us2, us22=-us2+us3， us11和us22分别为回路和回路内所有电压源的电压代数和。 这样， 方程组（3-10）可表示为 R11i1+R12i2=us11 R21i1+R22i2=us22 （3-11）,方程组（3-11）是具有两个独立回路的回路电流法公式形式。 它可推广到具有n个独立回路的平面电路， 其一般形式为 R11i1+R12i2+ +R1nin=us11 R21i1+R22i2+ +R2nin=us22 Rn1i1+Rn2i2+ +Rnnin=usnn (3-12）,对第k个独立回路， 其通式为,（3-

14、13）,3.3.2 应用回路电流法的解题步骤 应用回路电流法的解题步骤如下： （1） 选定一组独立的回路， 并指定各回路电流的绕行方向； （2） 确定各回路的自阻和互阻， 列出回路电流方程组； （3） 解方程求出回路电流； （4） 由回路电流求出各支路电流； （5） 根据各支路电流及各支路的VCR关系求出各支路电压。,图3.10 例3.7图,例3.7 如图3.10所示， 已知R1=1 , R2=2 , R3=0.5 , R4= 2 , R5=2 , R6=1 , us1=7 V, us2=14 V, us3=2 V。 求各支路电流。 解 设3个独立回路电流为3个网孔电流i1, i2和i3, 其

15、回路方程组为 (R1+R2+R4)i1-R2i2+R4i3=us1-us2 -R2i1+(R2+R3+R5)i2+R5i3=us2-us3 R4i1+R5i2+(R4+R5+R6)i3=0,将已知条件代入上述方程组得 (1+2+2)i1-2i2+2i3=7-14 -2i1+(2+0.5+2)i2+2i3=14-2 2i1+2i2+(2+2+1)i3=0 解之得i1=1 A, i2=4 A, i3=-2 A,各支路电流分别为 ia=i1=1 A ib=i2-i1=4-1=3 A ic=i2=4 A id=i1+i3=1+(-2)=-1 A ie=i2+i3=4+(-2)=2 A if=-i3=-(-2)=2 A,通过上例可以看出： （1） 回路电流法方程中的自阻为该回路上所有电阻之和， 恒为正； 互阻为相邻回路公有支路电阻的和， 有正也有负。 （2） uskk代表第k