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1、第一学期第一次课第一学期第一次课 第一章第一章 代数学的经典课题代数学的经典课题 1 若干准备知识若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一 个代数系统代数系统。 1.1.2 数域的定义数域的定义 定义定义（数域） 设是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、KK 除 四 则 运 算 是 封 闭 的 ， 即 对内 任 意 两 个 数、（可 以 等 于）， 必 有Kabab ，则称 K 为一个数域数域。KbabKabKba/0时，且当， 例例 1
2、.1 典型的数域举例 ： 复数域 C； 实数域 R； 有理数域 Q； Gauss 数域 ： Q (i) = i |Q， 其中 i =。ba ba,1 命题命题 任意数域 K 都包括有理数域 Q。 证明证明 设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是K0aKa，且 。K a a Kaa10， 进而Z, m 0 。Km111 最后，Z，。这就证明了 Q。证毕。nm, 0 K n m K n m n m 0K 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义定义(集合的交、 并、 差) 设是集合，与的公共元素
3、所组成的集合成为与的交集交集， 记作； 把SABABBAA 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩ABBAAB 下的元素组成的集合成为与 B 的差集差集，记做。ABA 定义定义（集合的映射） 设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定ABfAafB 的元素（记做） ，则称是到的一个映射映射，记为)(affAB ).( ,: afa BAf 如果，则称为在下的像像，称为在下的原像原像。的所有元素在下的像构成的的Bbaf)(bafabfAfB 子集称为在下的像像，记做，即。Af)(AfAaafAf| )()( 若都有 则称为
4、单射单射。 若 都存在， 使得， 则称为满射满射。,Aaa),()(afaff,BbAabaf)(f 如果既是单射又是满射，则称为双射双射，或称一一对应一一对应。ff 1.1.4 求和号与求积号求和号与求积号 1求和号与乘积号的定义求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域上个数，我们使用如下记号：Kn n aaa, 21 , n i in aaaa 1 21 . n i in aaaa 1 21 当然也可以写成 , ni in aaaa 1 21 . . ni in aaaa 1 21 . 2. 求和号的性质求和号的性质. 容易证明， n
5、i n i ii aa 11 n i n i n i iiii baba 111 )( n i m j n i ij m j ij aa 1111 事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状： nmnn m m aaa aaa aaa . . . . 21 22221 11211 分别先按行和列求和，再求总和即可。 第一学期第二次课第一学期第二次课 2 一元高次代数方程的基础知识一元高次代数方程的基础知识 1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题高等代数基本定理及其等价命题 1. 高等代数基本定理高等代数基本定理 设为 数 域 。 以表 示 系 数 在上 的 以为 变 元 的 一
6、元 多 项 式 的 全 体 。 如 果KxKKx ，则称为的次数，记为。)0(,.)( 0 1 10 axKaxaxaxf n nn n)(xf)(degxf 定理定理（高等代数基本定理） C的任一元素在 C 中必有零点。x 命题命题 设是 C 上一个次多项式，是一个复数。则存在 C) 10( ,.)( 0 1 10 naaxaxaxf n nn ，na 上首项系数为的次多项式，使得 0 a1n)(xq )()()(afaxxqxf 证明证明 对作数学归纳法。n 推论推论 为的零点，当且仅当为的因式（其中） 。 0 x)(xf)( 0 xx )(xf1)(degxf 命题命题（高等代数基本定理
7、的等价命题） 设 为 C 上的次多 n nn axaxaxf .)( 1 10 ) 10( 0 na，n 项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使n n aaa,., 21 ).()()( 210n xxxaxf 证明证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对作数学归纳法。n 2高等代数基本定理的另一种表述方式高等代数基本定理的另一种表述方式 定义定义 设是一个数域，是一个未知量，则等式Kx （1）0. 1 1 10 nn nn axaxaxa （其中）称为数域上的一个次代数方程代数方程；如果以带入（1）式后使它变0,., 010 aKaaa n KnKx 成等式，则称为方程（
8、1）在中的一个根根。K 定理定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域上的次代数方程在复数域 C 内必有一个根。K) 1(n 命题命题 次代数方程在复数域 C 内有且恰有个根（可以重复） 。nn 命题命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定 C 上两个 n 次、m 次多项式 ，)0(.)( 10 n n n axaxaaxf ，)0(.)( 10 m m m bxbxbbxg 如果存在整整数 ,及个不同的复数，使得lnlml,1l 121 ,., ll ，) 1,.,2 , 1()()(ligf ii 则。)()(xgxf 1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性韦达定理与实系数
9、代数方程的根的特性 设，其中。设的复根为（可能有重复） ，则 1 01 ( ) nn n f xa xa xa 0 ,0 i aK a( )0f x 12 , n 12 1 0 1 1212 1 ( )()()()() (). n in i nn nn f xxxxx a xx 所以 ；)() 1( 21 1 0 1 n a a ； nii ii a a 21 21 0 2 0 2 ) 1( .) 1( 21 0 n nn a a 我们记 ；1),( 210 n ； nn 21211 ),( ； niii iiinr r r 21 21 0 21 ),( nnn 2121 ),( （称为的初等
10、对称多项式初等对称多项式） 。于是有 12 , n 12 , n 定理定理2.5 (韦达定理) 设， 其中。 设的复根为。 1 01 ( ) nn n f xa xa xa 0 ,0 i aK a( )0f x 12 , n 则 ；),() 1( 211 1 0 1 n a a ；),() 1( 212 2 0 2 n a a ).,() 1( 21 0 nn nn a a 命题命题 给定 R 上次方程n ， ，0. 1 1 10 nn nn axaxaxa0 0 a 如果i 是方程的一个根，则共轭复数i 也是方程的根。ba ba 证明证明 由已知， . 1 011 .0 nn nn aaaa
11、 两边取复共轭，又由于R，所以 n aaa,., 10 . 1 011 .0 nn nn aaaa 推论推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 证明 证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C C 内有奇数个根，故其中必有一根为实数。 第一学期第三次课第一学期第三次课 3 线性方程组线性方程组 1.3.1 数域数域 K 上的线性方程组的初等变换上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的 Gauss 消元法消元法。 定义定义（线性方程组的初等变换） 数域上的线性方程组的如下三种变换K （1） 互换两个方程的位置； （2） 把某一个方程两边同乘数域内一个非零元素；Kc
12、（3） 把某一个方程加上另一个方程的倍，这里kKk 的每一种都称为线性方程组的初等变换初等变换。 容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明证明 设线性方程组为 （*） 11 112211 12122222 1 122 , , . . nn nn mmmnnn a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 经过初等变换后得到的线性方程组为（*） ，只需证明（*）的解是（*）的解，同时（*）的解也是（*）的解即可。 设是（*）的解，即（*）中用代入后成为等式。对其进行初 nn kxkxkx,.,
13、 2211 ),.2 , 1(nikx ii 等变换，可以得到代入（*）后也成为等式，即是（*） nn kxkxkx,., 2211nn kxkxkx,., 2211 的解。反之， （*）的解也是（*）的解。 证毕。 1.3.2 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换 定义定义（数域上的矩阵） 给定数域 K 中的个元素（，） 。把它们按一定次序排Kmn ji ami, 1 nj, 1 成一个行列的长方形表格mn 11121 21222 12 . . . . . n n mmmn aaa aaa A aaa 称为数域 K 上的 一个行列矩
14、阵行列矩阵，简称为矩阵。mnnm 定义定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵称为方程组的系数矩系数矩A 阵阵；如果把方程组的常数项添到内作为最后一列，得到的矩阵A) 1( nm 111211 212222 12 . . . . . n n mmmnn aaab aaab A aaab 称为方程组的增广矩阵增广矩阵。 定义定义(矩阵的初等变换) 对数域上的矩阵的行（列）所作的如下变换K （1）互换两行（列）的位置； （2）把某一行（列）乘以 K 内一个非零常数；c （3）把某一行（列）加上另一行（列）的倍，这里kKk 称为矩阵的行（列）初等变换初等变换。 定
15、义定义（齐次线性方程组） 数域上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次线性方程组齐次线性方程组。K 这类方程组的一般形式是 11 11221 1212222 1 122 0, 0, . 0. nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 命题命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明证明 对变元个数作归纳。 说明说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程） 。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果所给的是数域上的线K 性方程组，那么做初等变换后仍为上的线性方程组，所求出的解也都是数域中的元素。因此，对上线性方程KKK 组的全部讨论都可以限制在数
