《13062编号江苏省专转本统一考试高等数学复习资料总纲(简略版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《13062编号江苏省专转本统一考试高等数学复习资料总纲(简略版)（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、南航专转本 - 1 - 高等数学复习提纲高等数学复习提纲 一、极限一、极限 （一）极限七大题型（一）极限七大题型 1. 题型一1. 题型一 （）要求要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大” 。 ( ) lim ( ) m x n P x P x ,m n分别表示多项式的幂次 2. 题型二2. 题型二 () lim xa a 有限 分子 分母 将 a 带入分母 3. 题型三题型三（进入考场的主要战场） 注：应首先识别类型是否为为“”型！( ) ( ) lim v x xa u x 1 公式公式： 口诀口诀：得 1 得+得内框，内框一翻就是 。 （三步曲） 1 lim(1)e += e 4.
2、 题型四：题型四： 等价无穷小替换（特别注意：）0 （1） A:同阶无穷小：；lim0() x f f g 是g的同阶 B:等价无穷小：；lim1(g) x f f g 和 等价 = C:高阶无穷小：.注意：lim0(g) x f f g 是 的高阶 =fg和 的顺序 （2）常用等价替换公式： 1sin 41e 2tan 5 ln(1) 31 cos 2 1 2 611 n 1 n 7 *arcsin *arctan 特别补充： 2 1 sec1 2 （3）等价替换的的性质： 1）自反性：; 2）对称性：若，则； =0 0 直接带入 a 求出结果就是要求的值 0 结果： =0 “0/0 型”
3、用洛比达法则继续计算求值 将 a 带入分子 南航专转本 - 2 - 3）传递性： .若，则 （4）替换原则： A:非 0 常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用：进行等价替换 lnM Me= 题型五题型五 lim( )( )0( ( )0, ( ) xa x f xg xf xg x =不存在但有界 有界： （）,|( )|Mg xM$ 有界sin ,cos ,arcsin ,arccot ,xxxx 均有界 识别不存在但有界的函数： sin,cos,2e 5. 题型六：题型六：洛必达法则（极限题型六） ，见导数应用：洛必达法则 6. 题型七
4、：题型七：洛必达法则（极限题型七） ，定积分，见上限变限积分 7. 题型三 2、; 0 0 () () df x fx dx = 唯一切线斜率（） A,类可去 ,类 不存在，不能分类，求左右极限 00 (0)(0)f xf x+=-= 有限 00 (0)(0)f xf x+- 南航专转本 - 3 - 3、; 00 ()() tan f xxf xy xx b +- = 4、 . 拓展拓展： 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fx x +- = 00 0 0 ()() lim() f xf x Afx +- = 注意：1）分段点求导，永远用定义！ 2）有连续性条件时可直接带
5、入 定义二定义二 00 0 0 ()() ()lim() x fxxf x fx x - - +- = （左导）左支 00 0 0 ()() ()lim() x fxxf x fx x + + +- = （右导）右支 000 ()()()fxfxfx +- =存在 （二） 导数常用公式（二） 导数常用公式 1 1 c 0 2 2 n x 1,n nxn 为常数 3 3 x a ln , x aa a为常数 4 4 x e x e 7 7 (tan )x 2 2 1 sec cos x x (cot )x 2 2 1 csc sin x x (sec )xtan secxx (csc )xcot
6、cscxx 5 5 (log) a x 1 lnxa ln x 1 x (lg )x 1 ln10 x 6 6 sin x cosx (cos )x sin x 8 8 (arcsin )x 2 1 1x (arccos )x 2 1 1x (arctan )x 2 1 1x (cot )arcx 2 1 1x （三） 导数运算（三） 导数运算 1、乘法运算： ()uvu vuv=+()uvwu vwuv wuvw=+ 2、除法运算： 2 ( ) uu vuv vv - = （四） 复合函数求导（核心内容）（四） 复合函数求导（核心内容） 1、层次分析（如右“九字诀”,由外向内， “遇则则止”
7、 ） 所谓的“则”是、-、 2、几点性质： （1）公式，推广为： ln x 1 x 11 (ln |) | x xx = （2）形如： 利用公式等价替换 ( ) ( )v xu x lnM Me= 九字诀九字诀 号变号 则用则 层间乘 南航专转本 - 4 - （3）奇偶性: ( )yf xy=奇偶( )yf xy=偶奇 （五） 高阶导数（五） 高阶导数 1 ( ) ! n n xn () 0() m n xmn 3 ( ) sin n xsin 2 n x ( ) (cos ) n xcos 2 n x 2 ( ) 1 n axb 1 ( 1)! () nn n n a axb 4 ( ) (
8、) axn e nax a e （六） 微分（六） 微分 1、基本知识 注意求的时候要加“”.dyy dx=dx 2、参数方程求导（考试重点） 参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分 ( )xx t ( )yy t 公式公式： t t ydy dxx = 2 2 () t t dy d y dx dxx = 3、符号型求导 f 层抽象符号层 4、隐函数求导（必考） ( ),yf x一元显函数( , ),uf x y二元显函数( ),yy x一元隐函数 题目一般形式是:( , )( , ),f x yg x y 2 2 dd ,. dd yy xx 求 5、对数法求导 巧用对数的性质，变形式子
9、 （七） 导数的应用（七） 导数的应用 1、切线与法线 切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率切线斜率=-1； 2、洛必达法则（极限题型六） （） ( )( ) limlim ( )( ) xaxa xx f xfx g xg x 3、函数的单调性与极值、凹凸性、拐点 2 2 dd , dd yy xx 求标准形式： 条件：1.；2.后有则前有 0 , 0 注意： 1 等价无穷小，乘除可换，加减忌换 2 洛必达法则可重复使用 t 为中间变量 南航专转本 - 5 - 1） “峰”极大值；“谷”极小值； 单调性与极值求解 A：单调性： 0,; 0,. yxIy yxIy B：单调性交界点极值点（判据
10、） C:极值点可疑点（）0 0,. yxIy yxIy 凹（ ） 凸（ ） B:凹凸性交界点且能取值拐点 C：拐点可疑点0d( )d ( )d ; d ( )( )f xxf xf xxf xxF xF xC 2. 基本公式 九字诀九字诀 先找路 路中乘 路间加 一定条件下，即连续时： 22 uu x yy x 框 1框 2 南航专转本 - 7 - 1d n xx 1 1 (1) 1 n xC n n 2 1dx x ln |xC 7 csc dx x ln |cotcsc|xxC sec dx x ln | tansec|xxC 3d x ax ln x a C a 4 d x ex x e
11、C 5 sin dx x cosxC cos dx x sin xC 6 2 secdx x tan xC 2 cscdx x cot xC 8 22 1 dx ax arcsin x C a 22 1 dx ax 1 arctan x C aa 22 1 dx ax 1 ln 2 ax C aax 2 1 dx xA 2 ln xxAC （二）求不定积分的四大方法（二）求不定积分的四大方法 1、方法一 （1） 凑常数 公式： 1 dd(), ,xaxb a b a 均为常数 （2） 配方 见到一元二次方程敏感的想到配方法 见到一元二次方程敏感的想到配方法 （3） 拆分 公式： 11()()1
12、 ()()()()()() c axba cxdca axb cxdbcadaxb cxdbcadcxdaxb （4） 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分 2、方法二固定搭配 公式( ) ( ( ) dx fx x x 3、方法三分布积分 （1） 一般分布积分 公式： 关键： 是什么？ddu vuvv u v （2） 特殊方程法积分法 积分时，对如下积分要特别注意： 等等 2 22 2 sinln sin3 d ,d ,d ,d , sind , sin(ln )d ,cos4 d 1 x xx xx ex xexxxxxxxex x xx lnarctanarcsin、 x幂 三角函数
13、e 的优先级方向v 高 南航专转本 - 8 - 4、方法四变量替换 （1） 一次项替换 如:daxb x 方法：直接令. 2 , tb axbtx a 即 （2） 二次项替换 根据下表进行相应替换： 原项换元 22 ax sinxat 22 ax tanxat 22 xa secxat 五、定积分五、定积分 （一）定积分计算（一）定积分计算 1.N-L 公式 （牛顿-莱布尼兹公式） ( )d( )f xxF xC ( )d( )( )( ) b b a a f x xF bF aF x 主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算 ； 2.变换变限 1 11 ( ) ( ) ( )(
14、) ( )d ( ) ( )d . bb xt aatx f x xfttt （二）定积分性质（二）定积分性质 1.（1） （2）( )d0. a a f xx ( )d( )d . ab ba f xxf xx 2. d ,( )d )0. d b a a bf tt x 若为常数， 3. 更名：( )d( )d( )d . bbb aaa f xxf ttf 4. 拆分：( )d( )d( )d . bcb aac f xxf xxf xx 积分性质的运用：积分性质的运用： （1） 分段函数的定积分 （2） 函绝对值积分 （3） 三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算） 5.
15、若则( )f x 为奇函数，( )d0. a a f xx 这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。 6.变限积分 涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七 （1） 记住：与没有关系( )( )d x a g xf tt( )d )( ) x x a f ttf x x 替换原理替换原理: 根据下面两个三角变换得来的 1. 22 sincos1xx 2. 22 1tansecxx 南航专转本 - 9 - 推广推广： 2( ) 1( ) 2211 ( )d )( ) ( )( ) ( ). x x x f ttfxxfxx 上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导 (2)洛必达法则 （极限题型七） 7 广义积分 三种形式：（1）；（2）；（3）.( )d a f xx ( )d a f xx ( )df xx 解：定义：( )d u u a Ff xx A（有限） 收敛原式= lim u u u F 发散或不存在 （三）定积分应用（三）定积分应用 一般出现在综合题的最后一题， 题型仅有两种 ： 第一， 求
